ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 6.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Продолжение медианы АМ треугольника АВС пересекает его описанную окружность в точке D. Постройте треугольник АВС по заданным точкам A, B и D.

1. Рассматриваем выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD перпендикулярны.
2. Через середины сторон AB и AD проведены прямые, перпендикулярные соответственно сторонам DC и BC.
3. Точка пересечения этих прямых принадлежит прямой AC.
4. Пусть М и К — середины сторон АВ и AD, соответственно.
5. Проведем прямые через точки М и К, перпендикулярные сторонам DC и ВС: MF ⊥ DC и KF ⊥ BC.
6. Точка пересечения этих прямых F лежит на прямой AC, так как MF и KF являются высотами в соответствующих треугольниках, а в прямоугольном треугольнике высоты пересекаются на одной прямой.

Для решения задачи, где дана выпуклая трапеция с точками пересечения перпендикуляров и диагоналями, давайте рассмотрим подробное пошаговое объяснение:

1. Рассматриваем выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD перпендикулярны.
2. Через середины сторон AB и AD проведены прямые, перпендикулярные соответственно сторонам DC и BC.
3. Нам нужно доказать, что точка пересечения этих прямых принадлежит прямой AC.

Шаги решения:

1. Пусть М и К — середины сторон АВ и AD, соответственно.
2. Проведем прямые через эти точки М и К, которые перпендикулярны сторонам DC и ВС. То есть, MF ⊥ DC и KF ⊥ BC.
3. Обозначим точку пересечения этих прямых как F. Это точка пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон, которые принадлежат прямым, пересекающимся в точке F.
4. Теперь, поскольку MF ⊥ DC и KF ⊥ BC, то это значит, что прямые MF и KF являются высотами в соответствующих треугольниках.
5. Используем свойство, что в прямоугольном треугольнике высоты всегда пересекаются на одной прямой. Таким образом, точка пересечения прямых MF и KF должна лежать на прямой АС, потому что эти прямые пересекают стороны, и все направления соответствуют свойствам, согласно которым прямые, проведенные через середины сторон перпендикулярных трапеций, пересекаются на прямой диагонали.

Данное доказательство завершено.