ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 7.11 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Одно из оснований трапеции на 8 см больше другого, а средняя линия равна 17 см. Найдите основания трапеции.

Основания трапеции равны \(13 \text{ см}\) и \(21 \text{ см}\).

Шаг 1. Обозначим основания трапеции как \(BC = x\) и \(AD = x + 8\), где одно основание больше другого на \(8 \text{ см}\). Это введение переменной \(x\) поможет нам найти длину меньшего основания.

Шаг 2. Согласно теореме о средней линии трапеции, средняя линия равна полусумме оснований: \((BC + AD)/2 = 17\). Это свойство важно для решения задачи.

Шаг 3. Подставляя известные значения в формулу, получаем уравнение: \((x + (x + 8))/2 = 17\). Это уравнение нужно решить для нахождения \(x\).

Шаг 4. Раскрывая скобки, упрощаем уравнение: \(2x + 8 = 34\). Вычтем \(8\) из обеих частей: \(2x = 26\). Делим обе части на \(2\): \(x = 13\).

Шаг 5. Длина меньшего основания \(BC = 13 \text{ см}\). Тогда длина большего основания \(AD = x + 8 = 13 + 8 = 21 \text{ см}\).

Основания трапеции равны \(13 \text{ см}\) и \(21 \text{ см}\).

Шаг 1. Начнем с определения оснований трапеции. Обозначим меньшее основание как \(BC\) и большее основание как \(AD\). Для удобства введем переменную \(x\), где \(BC = x\) и \(AD = x + 8\). Это означает, что длина большего основания на \(8 \text{ см}\) больше, чем длина меньшего. Это обозначение поможет нам легче работать с уравнениями.

Шаг 2. Теперь обратимся к теореме о средней линии трапеции. Она утверждает, что средняя линия равна полусумме оснований. Формально это можно выразить следующим образом:

\[
\text{Средняя линия} = \frac{BC + AD}{2}
\]

В нашем случае известно, что средняя линия равна \(17 \text{ см}\). Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[
\frac{x + (x + 8)}{2} = 17
\]

Это уравнение будет основой для дальнейших расчетов.

Шаг 3. Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на \(2\):

\[
x + (x + 8) = 34
\]

Теперь раскроем скобки:

\[
x + x + 8 = 34
\]

Это упрощается до:

\[
2x + 8 = 34
\]

Шаг 4. Теперь мы решим это уравнение для нахождения значения \(x\). Сначала вычтем \(8\) из обеих сторон:

\[
2x = 34 — 8
\]

Таким образом, получаем:

\[
2x = 26
\]

Теперь делим обе стороны на \(2\):

\[
x = \frac{26}{2} = 13
\]

Шаг 5. Мы нашли значение меньшего основания \(BC = 13 \text{ см}\). Теперь давайте найдем длину большего основания \(AD\). Для этого подставим найденное значение \(x\) в выражение для большего основания:

\[
AD = x + 8 = 13 + 8 = 21 \text{ см}
\]

Таким образом, длина меньшего основания составляет \(13 \text{ см}\), а длина большего основания — \(21 \text{ см}\).

Шаг 6. Теперь давайте проверим правильность наших расчетов. Подставим найденные значения оснований обратно в формулу средней линии, чтобы убедиться, что она действительно равна \(17 \text{ см}\):

\[
\text{Средняя линия} = \frac{BC + AD}{2} = \frac{13 + 21}{2} = \frac{34}{2} = 17 \text{ см}
\]

Шаг 7. Мы видим, что все расчеты подтверждаются. Таким образом, мы можем уверенно утверждать, что длины оснований трапеции верны: \(BC = 13 \text{ см}\) и \(AD = 21 \text{ см}\).

Шаг 8. В заключение, мы рассмотрели все этапы решения задачи. Мы использовали введение переменной, применили теорему о средней линии, составили уравнение и успешно его решили. Каждый шаг был подробно объяснен, что позволяет лучше понять процесс решения задач такого типа.

Шаг 9. Для закрепления материала, важно помнить, что теорема о средней линии является ключевым инструментом при работе с трапециями, так как она позволяет находить среднюю длину оснований, что в свою очередь помогает в решении многих задач геометрии.

Шаг 10. Таким образом, мы завершили решение задачи. Мы уверены в том, что длины оснований трапеции равны \(13 \text{ см}\) и \(21 \text{ см}\).