ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 7.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Основания трапеции относятся как 3 : 4, а средняя линия равна 14 см. Найдите основания трапеции
Дано, что трапеция имеет основания \(BC = 3x\) и \(AD = 4x\), где \(x\) — коэффициент пропорции. Средняя линия трапеции равна 14 см. Чтобы найти значения оснований, можно использовать формулу средней линии: \(MV = \frac{BC + AD}{2}\). Подставляя известные значения, получаем: \(14 = \frac{3x + 4x}{2} = \frac{7x}{2}\). Умножая обе части на 2, получаем: \(28 = 7x\). Делим обе части на 7, чтобы найти \(x = 4\). Таким образом, основания трапеции равны \(BC = 3 \cdot 4 = 12\) см и \(AD = 4 \cdot 4 = 16\) см.
1. Рассмотрим задачу о трапеции, в которой основания относятся как \(3:4\), а средняя линия равна \(14 \, \text{см}\). Наша цель — найти длины оснований трапеции. Для этого нам нужно понять, что означает отношение оснований. Отношение \(3:4\) говорит о том, что меньшее основание составляет \(3\) части, а большее — \(4\) части от некоторого общего множителя. Поэтому мы можем обозначить меньшее основание как \(BC = 3x\), а большее основание как \(AD = 4x\), где \(x\) — это коэффициент пропорции, который нам предстоит найти. Этот подход позволяет выразить обе длины через одну переменную, что упрощает решение задачи.
2. Перейдем к определению средней линии трапеции. Средняя линия — это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции и параллелен основаниям. Важное свойство средней линии заключается в том, что ее длина равна полусумме длин оснований. Таким образом, формула средней линии выглядит так: \(MV = \frac{BC + AD}{2}\). В нашей задаче средняя линия дана и равна \(14 \, \text{см}\). Это дает нам возможность подставить известное значение в формулу.
3. Подставим значения оснований \(BC = 3x\) и \(AD = 4x\) в формулу средней линии: \(14 = \frac{3x + 4x}{2}\). Сначала выполним сложение в числителе: \(3x + 4x = 7x\). Таким образом, уравнение принимает вид: \(14 = \frac{7x}{2}\). Это уравнение связывает известную длину средней линии с неизвестным коэффициентом \(x\), который нам нужно определить.
4. Чтобы избавиться от дроби в уравнении \(14 = \frac{7x}{2}\), умножим обе части на \(2\). Это действие позволяет убрать знаменатель: \(14 \cdot 2 = 7x\), что дает нам \(28 = 7x\). Теперь у нас есть более простое уравнение, в котором переменная \(x\) умножена на коэффициент \(7\), и мы можем легко выразить \(x\).
5. Для нахождения значения \(x\) разделим обе части уравнения на \(7\): \(x = \frac{28}{7}\). Выполним деление: \(28 \div 7 = 4\), следовательно, \(x = 4\). Это значение коэффициента пропорции, которое мы искали. Теперь, зная \(x\), мы можем определить длины оснований, подставив это значение обратно в выражения для \(BC\) и \(AD\).
6. Найдем длину меньшего основания \(BC\). Мы определили, что \(BC = 3x\). Подставим значение \(x = 4\): \(BC = 3 \cdot 4 = 12 \, \text{см}\). Таким образом, меньшее основание трапеции равно \(12 \, \text{см}\). Проверим правильность вычислений: \(3 \cdot 4 = 12\), ошибки нет.
7. Теперь найдем длину большего основания \(AD\). Мы определили, что \(AD = 4x\). Подставим значение \(x = 4\): \(AD = 4 \cdot 4 = 16 \, \text{см}\). Таким образом, большее основание трапеции равно \(16 \, \text{см}\). Проверим вычисление: \(4 \cdot 4 = 16\), результат верный.
8. Для уверенности проверим, правильно ли мы нашли основания, используя формулу средней линии. Подставим значения \(BC = 12 \, \text{см}\) и \(AD = 16 \, \text{см}\) в формулу: \(MV = \frac{12 + 16}{2} = \frac{28}{2} = 14 \, \text{см}\). Значение средней линии совпадает с заданным в условии, что подтверждает правильность наших расчетов.
9. Также можно проверить, соответствует ли отношение оснований заданному в условии. Отношение \(BC : AD = 12 : 16\). Упростим это отношение, разделив обе части на \(4\): \(12 \div 4 = 3\), \(16 \div 4 = 4\), то есть отношение равно \(3:4\), что полностью соответствует условию задачи.
10. Таким образом, мы нашли длины оснований трапеции. Меньшее основание \(BC = 12 \, \text{см}\), большее основание \(AD = 16 \, \text{см}\).
