ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 7.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали равнобокой трапеции ABCD (AB = CD) пересекаются в точке О. Докажите, что АО = OD и ВО = ОС.

Из условия задачи: трапеция равнобокая, то есть АВ = CD. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О, и необходимо доказать, что АО = OD и ВО = ОС. Рассмотрим треугольник AOD. Углы \(AOD = \angle COD\) — это смежные углы, следовательно, они равны. По свойствам равнобокой трапеции, углы при основании АВ и CD также равны. Значит, \(AOD = \angle COD\), следовательно, треугольники AOD и COD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум углам и одной стороне). Тогда из равенства треугольников AOD и COD следует, что АО = OD. Теперь рассмотрим треугольник ВОС. Поскольку диагонали равны, то по аналогичной логике мы получаем, что ВО = ОС. Таким образом, мы доказали, что АО = OD и ВО = OC.

Из условия задачи: трапеция ABCD равнобокая, то есть АВ = CD. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О, и необходимо доказать, что АО = OD и ВО = ОС.

1. Рассмотрим треугольник AOD. Углы \(\angle AOD\) и \(\angle COD\) являются смежными углами, следовательно, они равны: \(\angle AOD = \angle COD\).

2. По свойствам равнобокой трапеции, углы при основании АВ и углы при основании CD также равны. Таким образом, \(\angle AOB = \angle COD\).

3. Поскольку в треугольнике AOD два угла равны соответствующим углам в треугольнике COD (\(\angle AOD = \angle COD\) и \(\angle AOB = \angle COD\)), то по первому признаку равенства треугольников, треугольники AOD и COD равны.

4. Из равенства треугольников AOD и COD следует, что соответствующие стороны равны, в том числе АО = OD.

5. Теперь рассмотрим треугольник ВОС. Поскольку диагонали АС и BD равны, то по аналогичной логике мы можем показать, что треугольники ВОС и DOC равны. Следовательно, ВО = ОС.

Таким образом, мы доказали, что АО = OD и ВО = OC.