ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 7.2 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если углы при одном из оснований трапеции равны, то данная трапеция является равнобокой.

1. Пусть трапеция ABCD, где АВ | CD, a AB = k, CD = p.
2. Докажем, что если углы при основании трапеции равны, то трапеция является равнобокой.
3. Известно, что АВ | CD, тогда по теореме о высоте трапеции (перпендикулярные линии) из точек А и В проведены высоты на основание CD.
4. Обозначим эти высоты через №1 и №2. Если высоты равны, то из этого следует, что треугольники ABH1 и CDH2 равны по гипотенузе и одному из острых углов.
5. Это влечет, что длины сторон трапеции АВ и CD равны.

1. Исходные данные:
У нас есть трапеция ABCD, где АВ | CD. Нам нужно доказать, что если углы при основании равны, то трапеция является равнобокой.
2. Высоты:
Пусть из точек А и В проведены перпендикуляры на основание CD, обозначим их через №1 и №2. Высота трапеции — это расстояние между основаниями.
3. Равенство углов:
Из условия задачи мы знаем, что углы при основании равны. Обозначим их через \(\angle ABC\) и \(\angle BCD\). Поскольку углы при основании трапеции равны, то они составляют одно из свойств равнобокой трапеции.
4. Применение теоремы о равенстве треугольников:
Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: ABH1 и CDH2, где H1 и H2 — это основания высот. По теореме о равенстве прямоугольных треугольников (гипотенуза и один угол) эти треугольники равны.
5. Заключение:
Поскольку треугольники равны, это означает, что длины сторон АВ и CD равны. Следовательно, трапеция является равнобокой, то есть AB = CD.

Ответ: трапеция (ABCD) является равнобокой.