ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 7.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а меньшее основание равно боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Решение:

1. Пусть \( A \) и \( B \) — основания равнобокой трапеции, \( C \) и \( D \) — боковая сторона, где \( D \) — точка пересечения диагонали и боковой стороны \( CD \). По условию диагональ перпендикулярна боковой стороне \( CD \).

2. В треугольнике \( BCD \) известно, что \( CD = BD \) (так как боковая сторона равна меньшему основанию).

3. Поскольку \( CD = BD \), треугольник \( BCD \) является равносторонним, и все его углы равны \( 60^\circ \). Следовательно, угол \( \angle DCB = 60^\circ \).

4. Углы \( \angle BCD \) и \( \angle CDB \) также равны \( 60^\circ \).

5. Таким образом, углы \( \angle B \) и \( \angle C \) равны углам \( \angle BCD \) и \( \angle CDB \), то есть \( \angle B = \angle C = 120^\circ \).

Ответ: \( \angle B = \angle C = 120^\circ \).

Решение:

1. Рассмотрим равнобокую трапецию \( ABCD \), где \( A \) и \( B \) — основания, а \( C \) и \( D \) — боковые стороны. Из условия задачи известно, что диагональ \( AC \) перпендикулярна боковой стороне \( CD \). Это означает, что угол \( \angle ACD = 90^\circ \).

2. Поскольку меньшая основание равно боковой стороне, то можно записать, что \( CD = AB \). Обозначим длину меньшего основания и боковой стороны как \( x \). Таким образом, имеем \( CD = x \) и \( AB = x \).

3. Рассмотрим треугольник \( BCD \). Так как \( CD = BD \), то треугольник \( BCD \) является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим угол \( \angle DBC \) как \( \alpha \). Тогда угол \( \angle BDC \) также равен \( \alpha \).

4. В треугольнике \( BCD \) сумма углов равна \( 180^\circ \). Мы можем записать уравнение: \( \angle DBC + \angle BDC + \angle DCB = 180^\circ \), что можно выразить как \( \alpha + \alpha + 60^\circ = 180^\circ \) (поскольку \( \angle DCB = 60^\circ \)). Упрощая, получаем \( 2\alpha + 60^\circ = 180^\circ \).

5. Решим уравнение для \( \alpha \): \( 2\alpha = 180^\circ — 60^\circ \) или \( 2\alpha = 120^\circ \). Делим обе стороны на 2, получаем \( \alpha = 60^\circ \). Это означает, что углы \( \angle DBC \) и \( \angle BDC \) равны \( 60^\circ \).

6. Теперь найдем углы \( \angle B \) и \( \angle C \) в трапеции. Поскольку углы \( \angle B \) и \( \angle C \) являются внешними углами к треугольнику \( BCD \), мы можем записать: \( \angle B = 180^\circ — \angle DBC = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ \) и \( \angle C = 180^\circ — \angle BDC = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ \).

Ответ: \( \angle B = \angle C = 120^\circ \).