ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 7.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если высота равнобокой трапеции равна её средней линии, то диагонали трапеции перпендикулярны

Рассмотрим равнобоку трапецию \( ABCD \), где \( AB \) и \( CD \) — основания, \( AD = BC \) — боковые стороны. Обозначим высоту трапеции как \( h \) и среднюю линию как \( m \). Средняя линия определяется как \( m = \frac{AB + CD}{2} \).

По условию задачи, высота равна средней линии: \( h = m \). Подставим выражение для средней линии: \( h = \frac{AB + CD}{2} \). Умножив обе стороны на 2, получаем \( 2h = AB + CD \).

Теперь рассмотрим треугольники \( ABD \) и \( BCD \). Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Это значит, что углы \( \angle ADB \) и \( \angle BDC \) равны.

Так как трапеция равнобокая и высота равна средней линии, то треугольники \( AOD \) и \( BOC \) (где \( O \) — точка пересечения диагоналей) также равны. Это приводит к тому, что углы \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) равны \( 90^\circ \).

Таким образом, диагонали \( AC \) и \( BD \) перпендикулярны, так как угол между ними равен \( 90^\circ \).

Рассмотрим равнобоку трапецию \( ABCD \), где \( AB \) и \( CD \) — основания, \( AD = BC \) — боковые стороны. Обозначим высоту трапеции как \( h \) и среднюю линию как \( m \). Средняя линия трапеции определяется как среднее арифметическое длин оснований:

\[
m = \frac{AB + CD}{2}
\]

По условию задачи, высота равна средней линии:

\[
h = m
\]

Подставим выражение для средней линии в это равенство:

\[
h = \frac{AB + CD}{2}
\]

Умножив обе стороны на 2, получим:

\[
2h = AB + CD
\]

Теперь рассмотрим треугольники \( ABD \) и \( BCD \). Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Это можно объяснить следующим образом:

— Стороны \( AD \) и \( BC \) равны, так как это равнобокая трапеция.
— Высоты из точек \( A \) и \( B \) на основание \( CD \) равны и равны \( h \).
— Углы \( \angle ADB \) и \( \angle BDC \) равны, так как они являются наклонными углами.

Следовательно, треугольники \( ABD \) и \( BCD \) равны по двум сторонам и углу между ними (по теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу). Это означает, что углы \( \angle ADB \) и \( \angle BDC \) равны.

Теперь обратим внимание на точки пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \). Обозначим точку их пересечения как \( O \). Важно заметить, что в равнобокой трапеции диагонали равны, то есть \( AC = BD \).

Теперь рассмотрим треугольники \( AOD \) и \( BOC \). Эти треугольники также равны, так как:

1. Стороны \( AO \) и \( BO \) равны, так как это отрезки диагоналей.
2. Угол \( \angle AOD \) равен углу \( \angle BOC \), так как они вертикальные углы.
3. Стороны \( OD \) и \( OC \) равны, так как высота \( h \) равна.

Это приводит к тому, что углы \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) равны \( 90^\circ \). Таким образом, мы можем утверждать, что диагонали \( AC \) и \( BD \) перпендикулярны, так как угол между ними равен \( 90^\circ \).

В завершение, мы доказали, что если высота равнобокой трапеции равна её средней линии, то диагонали этой трапеции перпендикулярны.