ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 7.3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна 180°. Верно ли обратное утверждение: если сумма противолежащих углов трапеции равна 180°, то данная трапеция является равнобокой?
Сумма противоположных углов равнобокой трапеции равна 180°. Пусть \(\angle D + \angle C = 180^\circ\).
В треугольнике \(ABC\) углы \(\angle D\) и \(\angle E\) равны, то есть \(\angle D = \angle E\).
Следовательно, \(\angle D + \angle E = 180^\circ\).
Таким образом, это подтверждает, что трапеция является равнобокой.
Для доказательства того, что сумма противоположных углов равнобокой трапеции равна 180°, начнем с определения равнобокой трапеции. Равнобокая трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.
1. Обозначим вершины трапеции как \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\), где \(AB\) и \(CD\) — параллельные стороны, а \(AD\) и \(BC\) — боковые стороны. Поскольку \(AD = BC\), то трапеция равнобокая.
2. Рассмотрим углы \(\angle D\) и \(\angle C\). По определению, сумма этих углов равна 180°: \(\angle D + \angle C = 180^\circ\).
3. Теперь обратим внимание на треугольник \(ABC\). Поскольку \(AD\) и \(BC\) — боковые стороны равнобокой трапеции, треугольник \(ABC\) является равнобедренным. Это означает, что углы при основании равны, то есть \(\angle D = \angle E\), где \(E\) — угол при вершине \(A\) треугольника \(ABC\).
4. Теперь мы можем записать, что \(\angle D + \angle E = 180^\circ\). Поскольку мы уже знаем, что \(\angle D = \angle E\), мы можем подставить это в уравнение.
5. Из предыдущих шагов мы имеем: \(\angle D + \angle C = 180^\circ\) и \(\angle D + \angle E = 180^\circ\). Поскольку \(\angle D\) в обоих случаях является общим углом, это подтверждает, что \(\angle C + \angle E = 0^\circ\).
6. Таким образом, мы доказали, что сумма противоположных углов \(\angle D\) и \(\angle C\) равна 180°, что соответствует свойству равнобокой трапеции. Это завершает наше доказательство.
В итоге, мы можем заключить, что равнобокая трапеция обладает свойством, согласно которому сумма противоположных углов равна 180°.
