ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 7.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции разбивает её на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.

В равнобокой трапеции \( ABCD \) известно, что \( AB \parallel CD \) и \( AD = BC \). Дано, что угол \( \angle DAB = 72^\circ \).

1. Из свойства параллельных прямых следует, что \( \angle ABC = \angle DAB = 72^\circ \).

2. Сумма всех углов трапеции равна \( 360^\circ \). Обозначим угол \( \angle BCD = x \). Тогда:

\(
\angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle ADC = 360^\circ
\)

3. Углы \( \angle ABC \) и \( \angle BCD \) равны, то есть \( \angle BCD = 108^\circ \). Подставим в уравнение:

\(
72^\circ + 72^\circ + x + x = 360^\circ
\)

4. Упрощаем:

\(
144^\circ + 2x = 360^\circ
\)

5. Переносим \( 144^\circ \):

\(
2x = 216^\circ
\)

6. Разделим на 2:

\(
x = 108^\circ
\)

Таким образом, углы трапеции \( ABCD \) равны \( 72^\circ, 108^\circ, 108^\circ, 72^\circ \).

В равнобокой трапеции \( ABCD \) известно, что \( AB \parallel CD \) и \( AD = BC \). Дано, что угол \( \angle DAB = 72^\circ \).

1. Поскольку \( AB \parallel CD \), углы \( \angle DAB \) и \( \angle ABC \) являются накрест лежащими углами. Это свойство параллельных прямых утверждает, что:

\(
\angle ABC = \angle DAB = 72^\circ
\)

2. Теперь найдем угол \( \angle BCD \). Внутренние углы трапеции \( ABCD \) в сумме дают \( 360^\circ \). Обозначим угол \( \angle BCD \) как \( x \) и угол \( \angle ADC \) также как \( x \), так как \( AD = BC \). У нас получается следующее уравнение:

\(
\angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle ADC = 360^\circ
\)

3. Подставим известные значения в уравнение:

\(
72^\circ + 72^\circ + x + x = 360^\circ
\)

4. Упрощаем уравнение, складывая известные углы:

\(
144^\circ + 2x = 360^\circ
\)

5. Переносим \( 144^\circ \) в правую часть уравнения:

\(
2x = 360^\circ — 144^\circ
\)

6. Вычисляем разность:

\(
2x = 216^\circ
\)

7. Делим обе стороны на 2, чтобы найти \( x \):

\(
x = \frac{216^\circ}{2} = 108^\circ
\)

8. Таким образом, угол \( \angle BCD = 108^\circ \).

9. Поскольку \( \angle ABC = \angle BCD \), угол \( \angle ABC \) также равен \( 108^\circ \).

Теперь у нас есть все углы трапеции \( ABCD \):

— \( \angle DAB = 72^\circ \)
— \( \angle ABC = 108^\circ \)
— \( \angle BCD = 108^\circ \)
— \( \angle ADC = 72^\circ \)

Ответ: углы трапеции \( ABCD \) равны \( 72^\circ, 108^\circ, 108^\circ, 72^\circ \).