ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 7.42 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В трапеции ABCD диагонали перпендикулярны. На большем основании AD отметили точку М так, что ВМ = MD = 3 см. Найдите среднюю линию трапеции.

1. Пусть в трапеции ABCD диагональ АС равна сумме оснований ВС и AD. Угол между диагоналями равен 60°.

2. Рассмотрим треугольник ADE, где E — точка пересечения диагоналей.
3. Поскольку АС = ВС + AD, точка пересечения диагоналей делит трапецию на два равнобоких треугольника.
4. Для дальнейшего доказательства используем следующее рассуждение:
\(\angle ABC = 60^{\circ}\), и диагонали равны.
Рассмотрим векторную сумму и отношение сторон.

1. Пусть в трапеции ABCD диагональ АС равна сумме оснований ВС и AD, то есть \(AC = BC + AD\). Угол между диагоналями равен 60°, то есть \(\angle BAD = 60^{\circ}\).

2. Рассмотрим треугольник ADE, где E — точка пересечения диагоналей. Поскольку АС = ВС + AD, то точка пересечения диагоналей E делит трапецию ABCD на два равнобоких треугольника ABE и CDE.

3. Для дальнейшего доказательства используем следующее рассуждение:
— Так как \(\angle ABC = 60^{\circ}\), и диагонали равны, то трапеция ABCD является равнобокой.
— Рассмотрим векторную сумму и отношение сторон треугольников ABE и CDE.
— Так как трапеция ABCD является равнобокой, то треугольники ABE и CDE также являются равнобокими.
— Следовательно, диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом в точке E, то есть \(\angle AED = \angle CED = 90^{\circ}\).

4. Таким образом, доказано, что в равнобокой трапеции ABCD, где диагональ АС равна сумме оснований ВС и AD, а угол между диагоналями равен 60°, точка пересечения диагоналей E делит трапецию на два равнобоких треугольника ABE и CDE, в которых диагонали пересекаются под прямым углом.