ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена секущая, которая пересекает окружности в точках С и D. Докажите, что величина угла CAD является постоянной для всех секущих, проходящих через точку В

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена секущая, которая пересекает окружности в точках C и D. Так как \(\angle ACB = \angle ADB\) согласно теореме о вписанных углах, то \(\angle CAD\) является постоянным для всех секущих, проходящих через точку B.

Пусть две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена секущая, которая пересекает первую окружность в точке C, а вторую окружность в точке D. Рассмотрим углы, которые образуются при этом, и докажем, что угол CAD является постоянным, независимо от положения секущей.

Согласно теореме о вписанных углах, вписанный угол, опирающийся на одну и ту же хорду, всегда остается неизменным. Хорда AB является общей для обеих окружностей, поэтому углы, опирающиеся на эту хорду в каждой из окружностей, равны. Это означает, что угол ACB, вписанный в первую окружность и опирающийся на хорду AB, равен углу ADB, вписанному во вторую окружность и также опирающемуся на хорду AB. Таким образом, выполняется равенство углов: угол ACB = угол ADB.

Теперь рассмотрим угол CAD, который образуется между точкой C на первой окружности и точкой D на второй окружности. Этот угол можно выразить как разность углов, опирающихся на хорду AB в каждой из окружностей: угол CAD = угол ACB — угол ADB. Поскольку углы ACB и ADB равны между собой, их разность всегда остается постоянной. Это утверждение справедливо для любых положений точек C и D, так как они всегда принадлежат своим окружностям, а хорда AB остается неизменной.

Таким образом, угол CAD не зависит от положения секущей, проходящей через точку B, и является постоянным. Независимость этого угла объясняется свойствами вписанных углов и неизменностью хорды AB, на которую опираются углы в каждой из окружностей.