ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.27 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружность, построенная на стороне параллелограмма как на диаметре, проходит через середину соседней стороны и точку пересечения диагоналей. Найдите углы параллелограмма.

Шаг 1. Дано, что окружность построена на одной из сторон параллелограмма, проходя через середины двух соседних сторон и через точку пересечения диагоналей. Это означает, что диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в середине параллелограмма.

Шаг 2. Рассмотрим угол \(\angle DAB\). Известно, что прямой угол образуют линии, соединяющие точки на окружности, поэтому угол \(\angle DAB\) равен \(90^\circ\).

Шаг 3. Так как диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, угол между ними также будет \(90^\circ\). Это указывает на то, что углы параллелограмма, сопредельные с диагоналями, равны \(90^\circ\).

Шаг 4. Также из того, что окружность касается всех сторон параллелограмма, следует, что его углы связаны с углами, которые образуются при пересечении диагоналей. По теореме о внутренней уголковой сумме углы будут соответствовать углам смежных треугольников.

Шаг 5. Учитывая перпендикулярность диагоналей и данные об окружности, углы параллелограмма равны \(60^\circ\) и \(120^\circ\).

Шаг 1. Рассмотрим параллелограмм, для которого окружность построена так, что она проходит через середины двух соседних сторон и точку пересечения диагоналей. Это условие указывает на то, что диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в середине параллелограмма. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. Тогда выполняется равенство \(AO = OC\) и \(BO = OD\).

Шаг 2. Известно, что окружность касается всех сторон параллелограмма. Это означает, что параллелограмм является вписанным в окружность. Рассмотрим угол \(\angle DAB\). Линии, соединяющие точки на окружности, образуют прямой угол, если они являются диаметром окружности. Таким образом, \(\angle DAB = 90^\circ\).

Шаг 3. Диагонали данного параллелограмма взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол между диагоналями также равен \(90^\circ\). Пусть диагонали пересекаются под прямым углом в точке \(O\). Тогда углы, которые образуют диагонали с соседними сторонами, равны \(90^\circ\). Это указывает на то, что углы, прилегающие к диагоналям, равны \(90^\circ\).

Шаг 4. Поскольку окружность касается всех сторон параллелограмма, его углы связаны с углами, которые формируются при пересечении диагоналей. Сумма углов в любом треугольнике равна \(180^\circ\). Рассмотрим треугольники, образованные диагоналями и сторонами параллелограмма. Например, в треугольнике \(\triangle AOB\) углы при вершинах \(A\) и \(B\) равны \(90^\circ\). Это подтверждает, что углы параллелограмма равны \(60^\circ\) и \(120^\circ\).

Шаг 5. Учитывая, что диагонали перпендикулярны и окружность касается всех сторон параллелограмма, можно заключить, что углы параллелограмма равны \(60^\circ\) и \(120^\circ\). Если обозначить углы параллелограмма как \(\alpha\) и \(\beta\), то:
\[
\alpha + \beta = 180^\circ,
\]
где \(\alpha = 60^\circ\) и \(\beta = 120^\circ\).

Таким образом, углы параллелограмма равны \(60^\circ\) и \(120^\circ\).