ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В окружности проведены две перпендикулярные хорды AB и CD, пересекающиеся в точке М. Докажите, что прямая, содержащая медиану треугольника DMB, содержит также высоту треугольника СМА.

Пусть две перпендикулярные хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(M\). Тогда:
1. \(AB \perp CD\), следовательно, \(M\) — ортогональный центр.
2. Прямая, содержащая медиану \(\triangle DMB\), проходит через точку \(M\) (свойство медианы).
3. В \(\triangle CMA\) \(M\) также является основанием высоты (так как \(AB \perp CD\)).
Итак, прямая, содержащая медиану \(\triangle DMB\), совпадает с высотой \(\triangle CMA\).

1. Рассмотрим окружность, в которой проведены хорды \(AB\) и \(CD\), пересекающиеся в точке \(M\). Дано, что \(AB \perp CD\). Это означает, что угол между хордами равен \(90^\circ\).
2. В треугольнике \(DMB\) точка \(M\) является серединой хорды \(AB\), так как \(AB \perp CD\) и пересекаются в центре диагонали. Следовательно, \(DM\) — медиана этого треугольника.
3. В треугольнике \(CMA\) точка \(M\) также является основанием высоты, так как \(AB \perp CD\).
4. Прямая, содержащая медиану \(DM\) в треугольнике \(DMB\), совпадает с прямой, содержащей высоту \(CM\) в треугольнике \(CMA\), так как обе проходят через точку \(M\).
5. Таким образом, доказано, что прямая, содержащая медиану треугольника \(DMB\), совпадает с высотой треугольника \(CMA\).