ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.29 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В окружности проведены две перпендикулярные хорды AB и CD, пересекающиеся в точке М. Докажите, что прямая, содержащая высоту треугольника DMB, содержит также медиану треугольника СМА

Пусть \( AB \) и \( CD \) — перпендикулярные хорды, пересекающиеся в точке \( M \). Прямая, содержащая высоту треугольника \( DMB \), проходит через \( M \), так как \( M \) — ортоцентр треугольника \( DMB \). Одновременно \( M \) — середина хорды \( AB \), что по свойству окружности делает её медианой треугольника \( CMA \). Прямая через \( M \) содержит и высоту \( DMB \), и медиану \( CMA \).

1. Рассмотрим окружность с хордами \( AB \) и \( CD \), пересекающимися в точке \( M \). Так как хорды перпендикулярны, то точка \( M \) — не только точка пересечения, но и основание высоты для треугольников, образованных этими хордами.

2. В треугольнике \( DMB \) точка \( M \) является основанием высоты, так как \( CD \perp AB \). Прямая, содержащая высоту \( DMB \), проходит через \( M \).

3. Точка \( M \) является серединой хорды \( AB \), так как она лежит на диаметре, проведённом через центр окружности. По свойству медианы треугольника \( CMA \), медиана проходит через середину противоположной стороны, то есть через \( M \).

4. Прямая, содержащая медиану \( CMA \), совпадает с прямой, содержащей высоту \( DMB \), так как обе проходят через точку \( M \).

5. Таким образом, доказано, что прямая, содержащая высоту треугольника \( DMB \), содержит также медиану треугольника \( CMA \).