ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка Н ортоцентр треугольника АВС. Прямая АН пересекает описанную окружность треугольника АВС в точке А1. Докажите, что прямая ВС делит отрезок НА, пополам.

Докажем, что \(BC\) делит отрезок \(HA_1\) пополам.
1. Точка \(H\) — ортоцентр треугольника \(ABC\).
2. Прямая \(AH\) пересекает описанную окружность треугольника в точке \(A_1\).
3. В треугольнике \(BHA_1\) \(BH\) является медианой и высотой (так как \(H\) — ортоцентр).
4. Следовательно, \(HO = OA_1\), где \(O\) — середина отрезка \(HA_1\).

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\), у которого точка \(H\) является ортоцентром. Ортоцентр — это точка пересечения всех высот треугольника. Прямая \(AH\), проходящая через вершину \(A\) и ортоцентр \(H\), пересекает описанную окружность треугольника \(ABC\) в точке \(A_1\).

2. По свойствам ортоцентра, высоты треугольника являются диаметрами описанной окружности. Таким образом, точка \(A_1\) лежит на окружности, и отрезок \(HA_1\) проходит через центр окружности.

3. Рассмотрим треугольник \(BHA_1\). В этом треугольнике отрезок \(BH\) является высотой, так как \(H\) — ортоцентр треугольника \(ABC\). Кроме того, отрезок \(BH\) является медианой треугольника \(BHA_1\), так как он проходит через точку \(O\), середину отрезка \(HA_1\).

4. Докажем, что \(HO = OA_1\). Из свойств медианы следует, что медиана делит противоположный отрезок пополам. В треугольнике \(BHA_1\) медиана \(BH\), проведенная из вершины \(B\), делит отрезок \(HA_1\) на два равных отрезка \(HO\) и \(OA_1\).

5. Таким образом, точка \(O\), являющаяся серединой отрезка \(HA_1\), лежит на прямой \(BC\). Следовательно, прямая \(BC\) делит отрезок \(HA_1\) пополам.

Ответ: \(BC\) делит отрезок \(HA_1\) пополам.