ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Отрезок АН высота треугольника АВС. Докажите, что \(\angle BAH = \angle OAC\), где точка О центр описанной окружности треугольника АВС.

1. Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \), где \( AH \) — высота.
2. Точка \( O \) — центр описанной окружности.
3. Угол \( \angle BAH \) равен углу \( \angle OAC \), так как:
— \( O \) — центр окружности, следовательно, \( OA = OB = OC \) (радиусы).
— Угол между высотой и стороной равен углу между радиусом и стороной, так как они опираются на одну дугу.

1. Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \), где \( AH \) — высота, проведенная из вершины \( A \) на сторону \( BC \). Точка \( O \) является центром описанной окружности треугольника \( \triangle ABC \). По определению, \( OA = OB = OC \), так как это радиусы окружности.

2. Угол \( \angle BAH \) — угол между высотой \( AH \) и стороной \( AB \). Угол \( \angle OAC \) — угол между радиусом \( OA \) и стороной \( AC \). Чтобы доказать их равенство, заметим, что оба угла связаны с дугой \( AC \) описанной окружности.

3. Рассмотрим дугу \( AC \). Угол \( \angle OAC \) опирается на эту дугу из центра окружности \( O \), а угол \( \angle BAH \) опирается на ту же дугу из вершины \( A \). Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, если вершина угла лежит внутри треугольника.

4. Высота \( AH \) делит угол \( \angle BAC \) на два равных угла. Это значит, что угол \( \angle BAH \) равен половине центрального угла \( \angle BOC \), опирающегося на ту же дугу \( BC \). Аналогично, угол \( \angle OAC \) также равен половине этого центрального угла, так как \( OA \) и \( OC \) — радиусы.

5. Таким образом, \( \angle BAH = \angle OAC \), так как оба угла опираются на одну и ту же дугу \( AC \) и равны половине центрального угла \( \angle BOC \). Это завершает доказательство.