ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.32 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Прямые, содержащие высоты остроугольного треугольника АВС, пересекают его описанную окружность в точках А1, В1 и С1. Докажите, что ортоцентр треугольника АВС является центром вписанной окружности треугольника A1B1C1

Докажем, что ортоцентр треугольника \(ABC\) является инцентром треугольника \(A_1B_1C_1\). Прямые, содержащие высоты треугольника \(ABC\), проходят через его описанную окружность, образуя точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\). Эти прямые являются биссектрисами углов треугольника \(A_1B_1C_1\), так как они делят углы пополам. Следовательно, ортоцентр \(H\) треугольника \(ABC\) является точкой пересечения биссектрис \(A_1B_1C_1\), то есть инцентром вписанной окружности треугольника \(A_1B_1C_1\).

1. Рассмотрим остроугольный треугольник \(ABC\) с ортоцентром \(H\). Напомним, что ортоцентр \(H\) — это точка пересечения высот треугольника. Пусть высоты \(AH\), \(BH\), \(CH\) пересекают описанную окружность треугольника \(ABC\) во вторых точках \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\). Эти точки образуют новый треугольник \(A_1B_1C_1\).

2. Высоты треугольника \(ABC\) делят его углы на два равных угла, так как они перпендикулярны противоположным сторонам. Это значит, что прямые \(HA_1\), \(HB_1\), \(HC_1\) делят углы при вершинах \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\) пополам. Таким образом, \(HA_1\), \(HB_1\), \(HC_1\) являются биссектрисами треугольника \(A_1B_1C_1\).

3. По свойству треугольников, точка пересечения всех биссектрис является инцентром, то есть центром вписанной окружности. Следовательно, точка \(H\), которая является ортоцентром треугольника \(ABC\), одновременно является точкой пересечения биссектрис треугольника \(A_1B_1C_1\).

4. Докажем, что окружность с центром в \(H\) действительно вписана в треугольник \(A_1B_1C_1\). Для этого заметим, что высоты треугольника \(ABC\) делят описанную окружность на равные дуги. Это подтверждает, что углы при вершинах \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) симметричны относительно биссектрис, проходящих через \(H\). Таким образом, окружность с центром в \(H\) касается всех сторон треугольника \(A_1B_1C_1\).

5. Следовательно, ортоцентр \(H\) треугольника \(ABC\) является инцентром треугольника \(A_1B_1C_1\), а окружность с центром в \(H\) и радиусом, равным расстоянию от \(H\) до любой стороны \(A_1B_1C_1\), является вписанной окружностью этого треугольника.