ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.33 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Прямые, содержащие высоты остроугольного треугольника АВС, пересекают его описанную окружность в точках А1, В1 и С1. Постройте по этим точкам треугольник АВС.
1. Проведем высоты треугольника \(ABC\), обозначим их пересечения с описанной окружностью как точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\).
2. Соединим точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), чтобы получить треугольник \(ABC\).
1. Построим остроугольный треугольник \(ABC\) с произвольными сторонами. Для этого начертим три отрезка, соединяющие вершины \(A\), \(B\), \(C\), так чтобы все углы треугольника были острыми (\(<90^\circ\)). Напомним, что остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все углы меньше \(90^\circ\).
2. Проведем высоты треугольника \(ABC\). Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение. Построим:
a) Высоту \(AA_1\), которая идет из вершины \(A\) перпендикулярно стороне \(BC\).
b) Высоту \(BB_1\), которая идет из вершины \(B\) перпендикулярно стороне \(AC\).
c) Высоту \(CC_1\), которая идет из вершины \(C\) перпендикулярно стороне \(AB\).
Для проверки правильности построения используем свойство: высота всегда образует угол \(90^\circ\) с противоположной стороной.
3. Построим описанную окружность треугольника \(ABC\). Для этого определим центр окружности, который совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Затем проведем окружность радиусом, равным расстоянию от центра до любой из вершин треугольника \(A\), \(B\) или \(C\).
4. Найдем точки пересечения высот с описанной окружностью.
a) Высота \(AA_1\) пересекает окружность в точке \(A_1\), которая лежит на окружности.
b) Высота \(BB_1\) пересекает окружность в точке \(B_1\), которая также лежит на окружности.
c) Высота \(CC_1\) пересекает окружность в точке \(C_1\), которая лежит на окружности.
Эти точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) — искомые точки пересечения.
5. Соединим точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), чтобы восстановить треугольник \(ABC\). Проверим, что полученные стороны \(A_1B_1\), \(B_1C_1\), \(C_1A_1\) образуют остроугольный треугольник. Убедимся, что высоты нового треугольника также проходят через точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), подтверждая правильность построения.
