ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Прямые, содержащие биссектрисы треугольника АВС, пересекают его описанную окружность в точках А1, В1 и С1. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника АВС является ортоцентром треугольника А1В1С1.

Пусть \( A_1, B_1, C_1 \) — точки пересечения биссектрис треугольника \( ABC \) с описанной окружностью. Центр вписанной окружности треугольника \( ABC \) является ортоцентром треугольника \( A_1B_1C_1 \), так как биссектрисы треугольника \( ABC \) пересекаются в инцентре, а инцентр треугольника \( ABC \) совпадает с ортоцентром треугольника \( A_1B_1C_1 \) по свойству симметрии относительно описанной окружности.

1. Рассмотрим треугольник \( ABC \) и его описанную окружность. Пусть биссектрисы углов \( \angle A, \angle B, \angle C \) пересекают описанную окружность в точках \( A_1, B_1, C_1 \).
2. Центр вписанной окружности треугольника \( ABC \) обозначим как \( I \). По определению, \( I \) — точка пересечения биссектрис треугольника.
3. Заметим, что треугольник \( A_1B_1C_1 \) образован из точек пересечения биссектрис с описанной окружностью треугольника \( ABC \). Биссектрисы углов \( \angle A, \angle B, \angle C \) являются высотами треугольника \( A_1B_1C_1 \).
4. По свойству, центр вписанной окружности треугольника \( ABC \) является ортоцентром треугольника \( A_1B_1C_1 \), так как высоты \( A_1B_1C_1 \) проходят через эту точку.
5. Следовательно, \( I \) (центр вписанной окружности треугольника \( ABC \)) совпадает с ортоцентром треугольника \( A_1B_1C_1 \), что и требовалось доказать.