ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.36 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что описанная окружность треугольника АВС, биссектриса угла В и серединный перпендикуляр стороны АС проходят через одну точку.

Описанная окружность треугольника \(ABC\), биссектриса угла \(B\) и серединный перпендикуляр стороны \(AC\) пересекаются в одной точке, так как эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров сторон, а биссектриса делит угол пополам, проходя через эту точку.

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Пусть \(O\) — центр описанной окружности, которая проходит через вершины \(A\), \(B\), \(C\). Центр описанной окружности определяется как точка пересечения серединных перпендикуляров всех сторон треугольника.
2. Проведем серединный перпендикуляр к стороне \(AC\). Этот перпендикуляр проходит через точку \(O\), так как \(O\) равноудалено от точек \(A\) и \(C\).
3. Проведем биссектрису угла \(B\). По свойству биссектрисы она делит угол \(B\) пополам и проходит через точку \(O\), так как центр окружности, описанной вокруг треугольника, равноудален от всех сторон треугольника.
4. Пересечение серединного перпендикуляра стороны \(AC\) и биссектрисы угла \(B\) совпадает с центром \(O\), так как \(O\) удовлетворяет обоим условиям: равноудаленности от вершин и сторон треугольника.
5. Таким образом, описанная окружность, биссектриса угла \(B\) и серединный перпендикуляр стороны \(AC\) пересекаются в одной точке \(O\), что и требовалось доказать.