ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.37 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС проведены высота BD, медиана ВМ и биссектриса ВК. Известно, что \(\angle DBK = \angle KBM\). Докажите, что \(\angle ABC = 90^\circ\).

В треугольнике \( ABC \) проведены высота \( BD \), медиана \( BM \) и биссектриса \( BK \). Из условия \( \angle DBK = \angle KBM \) следует, что точка \( O \), где пересекаются \( BD, BM, BK \), является центром описанной окружности треугольника \( \triangle BDK \). Так как \( \triangle BDK \) равнобедренный и прямоугольный (\( BD \) — высота), то \( \angle BDK = 45^\circ \). Угол \( \angle ABC = 2 \cdot \angle BDK = 90^\circ \).

В треугольнике \( ABC \) проведены высота \( BD \), медиана \( BM \) и биссектриса \( BK \). Известно, что \( \angle DBK = \angle KBM \). Докажем, что \( \angle ABC = 90^\circ \).

1. Рассмотрим точку \( O \), которая является точкой пересечения высоты \( BD \), медианы \( BM \) и биссектрисы \( BK \). Поскольку \( \angle DBK = \angle KBM \), то точка \( O \) является центром окружности, описанной около треугольника \( \triangle BDK \).

2. В окружности, описанной около \( \triangle BDK \), угол \( \angle DBK \) равен углу \( \angle KBM \), так как эти углы опираются на одну и ту же дугу \( DK \).

3. Из условия, что \( \angle DBK = \angle KBM \), следует, что \( \triangle BDK \) равнобедренный, где \( BD = BK \).

4. Так как \( BD \) — высота, проведенная из вершины \( B \), то \( \triangle BDK \) является прямоугольным с прямым углом при \( D \).

5. Теперь рассмотрим треугольник \( ABC \). Поскольку \( BM \) является медианой, то точка \( M \) делит сторону \( AC \) пополам. Также \( BD \) является высотой, а \( BK \) — биссектрисой.

6. Так как \( \angle DBK = \angle KBM \), то \( \triangle BDK \) вписан в окружность, и точка \( K \) лежит на окружности, описанной около \( \triangle BDK \).

7. Угол \( \angle ABC \) является внешним углом для \( \triangle BDK \). Внешний угол равен сумме двух противоположных внутренних углов, то есть \( \angle ABC = \angle DBK + \angle KBM \).

8. Из условия \( \angle DBK = \angle KBM \), следовательно, \( \angle ABC = 2 \cdot \angle DBK \).

9. Так как \( \triangle BDK \) прямоугольный и равнобедренный, то \( \angle DBK = 45^\circ \).

10. Подставляя значение \( \angle DBK \) в выражение для \( \angle ABC \), получаем \( \angle ABC = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ \).

Таким образом, доказано, что \( \angle ABC = 90^\circ \).