ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.38 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике ABC высота BD, медиана ВМ и биссектриса ВК делят угол АВС на четыре равных угла. Найдите углы треугольника АВС.

1. Пусть угол \( \angle ABC = 4x \). По условию задачи высота \( BD \), медиана \( BM \) и биссектриса \( BK \) делят угол \( \angle ABC \) на четыре равные части. Значит, каждый из этих углов равен \( x \), то есть \( \angle ABD = x \), \( \angle DBM = x \), \( \angle MBK = x \), \( \angle KBC = x \).

2. Высота \( BD \) перпендикулярна стороне \( AC \), следовательно, \( \angle BDC = 90^\circ \). Это означает, что \( \angle BAC + \angle ACB = 90^\circ \), так как сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), а \( \angle ABC \) равен \( 90^\circ \).

3. Угол \( \angle ABC = 4x \). Так как высота, медиана и биссектриса делят этот угол на четыре равные части, мы можем записать \( 4x = 90^\circ \), откуда \( x = 22.5^\circ \).

4. Теперь найдем углы треугольника. Угол \( \angle ABC = 4x = 90^\circ \). Угол \( \angle BAC = 90^\circ — \angle ACB \), поскольку \( \angle BAC + \angle ACB = 90^\circ \), и \( \angle ACB = 67.5^\circ \), так как \( \angle ABC = 90^\circ \).

5. Таким образом, углы треугольника \( ABC \) равны: \( \angle BAC = 90^\circ \), \( \angle ABC = 90^\circ \), \( \angle ACB = 67.5^\circ \).

Ответ: \( 90^\circ \), \( 22.5^\circ \), \( 67.5^\circ \).

1. Пусть угол ∠ABC равен 4x. По условию задачи высота BD, медиана BM и биссектриса BK делят угол ∠ABC на четыре равные части. Это означает, что каждый из этих углов равен x, то есть ∠ABD = x, ∠DBM = x, ∠MBK = x, ∠KBC = x.

2. Высота BD перпендикулярна стороне AC, следовательно, ∠BDC = 90°. Угол ∠ABC составляет 90°, так как высота BD делит угол пополам. Таким образом, сумма углов ∠BAC и ∠ACB равна 90°, поскольку сумма углов треугольника равна 180°.

3. Угол ∠ABC равен 4x. Высота, медиана и биссектриса делят этот угол на четыре равные части, то есть 4x = 90°. Отсюда x = 22.5°. Углы ∠ABD, ∠DBM, ∠MBK и ∠KBC равны 22.5°.

4. Найдем углы треугольника. Угол ∠ABC равен 90°. Угол ∠BAC можно вычислить как разность между 90° и ∠ACB, то есть ∠BAC = 90° — ∠ACB. Так как угол ∠ABC равен 90°, то ∠ACB = 67.5°. Следовательно, ∠BAC = 90° — 67.5° = 22.5°.

5. Таким образом, углы треугольника ABC равны: ∠BAC = 22.5°, ∠ABC = 90°, ∠ACB = 67.5°.