ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.39 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС проведены высота BD, медиана ВМ и биссектриса ВК. Докажите, что точка К принадлежит отрезку DM.

В треугольнике \(ABC\) точка \(K\) лежит на биссектрисе \(BK\), а также медиана \(BM\) делит сторону \(AC\) пополам. Высота \(BD\) является перпендикуляром к \(AC\). Точка пересечения биссектрисы, медианы и высоты в треугольнике совпадает (свойство треугольника). Следовательно, точка \(K\) принадлежит отрезку \(DM\).

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором проведены:
— высота \(BD\), которая перпендикулярна стороне \(AC\);
— медиана \(BM\), которая делит сторону \(AC\) пополам (\(AM = MC\));
— биссектриса \(BK\), которая делит угол \(ABC\) на два равных угла (\(\angle ABK = \angle CBK\)).

2. По свойству треугольника, высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины (\(B\)), пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку пересечения как \(K\).

3. Поскольку \(K\) является точкой пересечения высоты \(BD\) и медианы \(BM\), то она лежит на отрезке \(DM\) (отрезок \(DM\) соединяет точки \(D\) и \(M\)).

4. Таким образом, точка \(K\) одновременно принадлежит всем трем линиям (\(BD\), \(BM\), \(BK\)) и лежит на отрезке \(DM\).

5. Утверждение доказано: точка \(K\) принадлежит отрезку \(DM\).