ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.42 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте треугольник по медиане, биссектрисе и высоте, выходящим из одной вершины.

1. Построим треугольник \( \triangle MVB \), где \( BM = h \), \( MV = m \), \( \angle MBV = 90^\circ \).

2. Построим отрезок \( VK \), равный \( c \), и \( VK \) является биссектрисой угла \( \angle B \).
3. Найдем точку пересечения \( P \) биссектрисы \( VK \) и серединного перпендикуляра к \( AC \), который строится по теореме о свойствах описанной окружности.
4. Восстановим стороны \( AB \) и \( AC \) через точку \( P \), используя свойства треугольника.
5. Полученный треугольник \( \triangle ABC \) является искомым.

1. Построим треугольник \( \triangle MVB \), где \( BM = h \), \( MV = m \), \( \angle MBV = 90^\circ \). Для этого:
— Отметим точку \( B \), из которой будет выходить высота \( BM \).
— Проведем перпендикуляр \( BM \) длиной \( h \) от точки \( B \). Это высота треугольника.
— От вершины \( M \), которая является серединой стороны \( AC \), проведем отрезок \( MV \) длиной \( m \), соединяющий \( M \) с вершиной \( B \). Этот отрезок является медианой треугольника.
— Убедимся, что \( BM \) и \( MV \) пересекаются под прямым углом в точке \( M \), так как \( BM \) — высота.

2. Проведем биссектрису \( VK \), равную \( c \), из вершины \( B \):
— Отметим точку \( K \) на биссектрисе угла \( \angle ABM \), так что длина отрезка \( VK = c \). Биссектриса делит угол \( \angle ABM \) на два равных угла, согласно теореме о биссектрисе.
— Для построения биссектрисы используем циркуль и линейку, чтобы разделить угол \( \angle ABM \) пополам, и отмечаем точку \( K \) на биссектрисе.

3. Найдем точку пересечения \( P \) биссектрисы \( VK \) и серединного перпендикуляра к \( AC \):
— Проведем серединный перпендикуляр к отрезку \( AC \), который проходит через середину \( M \) и перпендикулярен \( AC \), согласно определению серединного перпендикуляра.
— Пересечение биссектрисы \( VK \) и серединного перпендикуляра определяет точку \( P \). Точка \( P \) является центром описанной окружности треугольника \( \triangle ABC \), согласно теореме о свойствах описанной окружности.

4. Восстановим стороны \( AB \) и \( AC \):
— Используя точку \( P \) как центр окружности, проведем окружность радиуса \( PB \), которая проходит через вершину \( B \).
— Отметим точки пересечения окружности с серединным перпендикуляром как вершины \( A \) и \( C \). Таким образом, стороны \( AB \) и \( AC \) восстановлены.

5. Построим треугольник \( \triangle ABC \):
— Соединим точки \( A \), \( B \) и \( C \), чтобы получить треугольник \( \triangle ABC \).
— Проверим, что высота \( BM \), медиана \( MV \) и биссектриса \( VK \) исходят из одной вершины \( B \), и их длины соответствуют заданным значениям \( h \), \( m \) и \( c \).