ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.49 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан отрезок АВ. Найдите геометрическое место точек Х таких, что треугольник АХВ прямоугольный.

Геометрическое место точек \( X \), для которых треугольник \( AXB \) прямоугольный, представляет собой окружность диаметром \( AB \). Это следует из теоремы о вписанном угле, согласно которой угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

1. Рассмотрим отрезок \( AB \) и точку \( X \), такую, что треугольник \( AXB \) является прямоугольным. По условию задачи, нам нужно найти геометрическое место всех таких точек \( X \).

2. Обратимся к теореме о вписанном угле: если угол опирается на диаметр окружности, то он является прямым. Это означает, что если точка \( X \) лежит на окружности, построенной с диаметром \( AB \), то угол \( AXB \) будет равен \( 90^\circ \).

3. Найдем центр окружности. Центр окружности, диаметр которой равен отрезку \( AB \), находится в середине этого отрезка. Обозначим середину отрезка \( AB \) как точку \( O \). Координаты точки \( O \) можно найти как среднее арифметическое координат точек \( A \) и \( B \):
\( O_x = \frac{A_x + B_x}{2}, \, O_y = \frac{A_y + B_y}{2} \).

4. Радиус окружности равен половине длины отрезка \( AB \). Длина отрезка \( AB \) вычисляется по формуле:
\( AB = \sqrt{(B_x — A_x)^2 + (B_y — A_y)^2} \).
Тогда радиус окружности:
\( R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{(B_x — A_x)^2 + (B_y — A_y)^2}}{2} \).

5. Построим окружность. Уравнение окружности с центром в точке \( O \) и радиусом \( R \) имеет вид:
\( (x — O_x)^2 + (y — O_y)^2 = R^2 \),
где \( O_x \) и \( O_y \) — координаты центра окружности, а \( R \) — радиус.

6. Точка \( X \), лежащая на этой окружности, удовлетворяет уравнению окружности. Это означает, что для любой точки \( X(x, y) \), принадлежащей окружности, угол \( AXB \) будет прямым.

7. Проверим, что ни одна точка вне окружности не удовлетворяет условию задачи. Если точка \( X \) лежит вне окружности, то угол \( AXB \) не будет равен \( 90^\circ \), так как она не будет опираться на диаметр \( AB \).

8. Таким образом, геометрическое место точек \( X \), для которых треугольник \( AXB \) прямоугольный, — это окружность, построенная на отрезке \( AB \) как на диаметре.

9. Для построения окружности можно использовать следующий алгоритм:
а) Найти середину отрезка \( AB \), которая будет центром окружности.
б) Вычислить длину отрезка \( AB \) и определить радиус окружности как половину этой длины.
в) Построить окружность с найденными центром и радиусом.

10. Ответ: геометрическое место точек \( X \), для которых треугольник \( AXB \) прямоугольный, — это окружность диаметром \( AB \). Уравнение окружности:
\( (x — O_x)^2 + (y — O_y)^2 = R^2 \),
где \( O_x = \frac{A_x + B_x}{2}, \, O_y = \frac{A_y + B_y}{2}, \, R = \frac{\sqrt{(B_x — A_x)^2 + (B_y — A_y)^2}}{2} \).