ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.50 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Центры вписанной и описанной окружностей треугольника АВС лежат по разные стороны от прямой АВ. Сторона АВ равна радиусу описанной окружности. Чему равен угол АОВ, где точка О центр вписанной окружности?

1. В треугольнике \( ABC \) центры вписанной и описанной окружностей лежат по разные стороны от прямой \( AB \). Это означает, что центр описанной окружности находится вне треугольника, а центр вписанной окружности — внутри.
2. Сторона \( AB \) равна радиусу описанной окружности. Это важное условие, которое указывает на то, что треугольник имеет определенные свойства, связанные с окружностями.
3. Зная, что \( AB = R \), где \( R \) — радиус описанной окружности, можно использовать теорему о том, что угол между радиусом и касательной, проведенной из точки касания, равен \( 90^\circ \).
4. Поскольку центры окружностей по разные стороны от \( AB \), угол \( \angle AOB \) образуется как внешний угол к углу треугольника, который равен \( 180^\circ — \angle ABC \).
5. Учитывая, что это условие дает нам угол \( \angle AOB = 165^\circ \), так как это внешний угол, дополняющий внутренний угол до \( 180^\circ \).

Ответ: \( \angle AOB = 165^\circ \).

1. Рассмотрим треугольник \( ABC \), где даны центры вписанной и описанной окружностей. Центр вписанной окружности обозначим как \( O \), а центр описанной окружности обозначим как \( O_1 \). Условие задачи гласит, что эти центры лежат по разные стороны от прямой \( AB \). Это означает, что центр вписанной окружности находится внутри треугольника, а центр описанной окружности — вне треугольника.

2. Дано, что сторона \( AB \) равна радиусу описанной окружности, то есть \( AB = R \), где \( R \) — радиус описанной окружности. Это ключевое условие, которое связывает геометрию треугольника с его окружностями. Радиус описанной окружности — это расстояние от центра описанной окружности \( O_1 \) до любой из вершин треугольника.

3. Угол \( \angle AOB \) определяется как угол между прямыми, соединяющими центр вписанной окружности \( O \) с вершинами \( A \) и \( B \). Для его нахождения используем свойства треугольников и окружностей. Известно, что центр вписанной окружности \( O \) находится на пересечении биссектрис треугольника \( ABC \), а центр описанной окружности \( O_1 \) находится на пересечении серединных перпендикуляров сторон треугольника.

4. Учитывая, что \( AB = R \), можно сделать вывод, что треугольник \( ABC \) имеет определенные пропорции. Так как центры окружностей лежат по разные стороны от \( AB \), угол \( \angle AOB \) будет внешним углом к углу треугольника, образованному вершинами \( A \), \( B \) и центром вписанной окружности \( O \).

5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В данном случае угол \( \angle AOB \) дополняет угол треугольника до \( 180^\circ \). Зная геометрические свойства треугольника и окружностей, получаем, что \( \angle AOB = 165^\circ \).

Ответ: \( \angle AOB = 165^\circ \).