ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.51 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Прямые, содержащие высоты остроугольного треугольника АВС, проведённые из вершин В и С, пересекают описанную окружность в точках В1 и С1 соответственно. Найдите угол А треугольника АВС, если прямая B1C1 проходит через центр описанной окружности.

Прямая \(B_1C_1\) проходит через центр описанной окружности треугольника \(ABC\). Угол \(A\) равен \(45^\circ\), так как сумма углов \(\angle B_1OC_1 + \angle B_1AC_1 = 90^\circ\), а \(\angle B_1OC_1\) равен \(45^\circ\) (по свойству симметрии высот в окружности).

1. Рассмотрим остроугольный треугольник \(ABC\), описанную окружность этого треугольника и её центр \(O\). Пусть высоты треугольника, проведённые из вершин \(B\) и \(C\), пересекают описанную окружность в точках \(B_1\) и \(C_1\) соответственно. Прямая \(B_1C_1\) проходит через центр \(O\) описанной окружности. Требуется найти угол \(\angle A\) треугольника \(ABC\).

2. Высоты треугольника \(ABC\) пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром \(H\). При этом точки \(B_1\) и \(C_1\) являются точками пересечения высот с описанной окружностью. По свойству высот остроугольного треугольника, точки пересечения высот с окружностью делят дуги окружности пополам. Таким образом, дуги \(AB_1\) и \(AC_1\) равны, а также дуги \(BB_1\) и \(CC_1\) равны.

3. Рассмотрим центральный угол \(\angle B_1OC_1\). Этот угол равен половине дуги, на которую он опирается. Поскольку дуги \(B_1C_1\) равны, то угол \(\angle B_1OC_1\) равен \(45^\circ\). Это следует из симметрии треугольника относительно центра окружности и свойств высот.

4. Рассмотрим треугольник \(OB_1C_1\). Угол \(\angle B_1OC_1 = 45^\circ\), так как прямая \(B_1C_1\) проходит через центр \(O\), а дуга, на которую опирается угол, делится пополам. С другой стороны, угол \(\angle B_1AC_1\) является вписанным углом и равен половине центрального угла \(\angle B_1OC_1\), то есть \(\angle B_1AC_1 = 45^\circ\).

5. Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\). Угол \(\angle A\) равен углу \(\angle B_1AC_1\), так как высоты делят треугольник на равные части. Таким образом, \(\angle A = 45^\circ\).

6. Для проверки результата используем теорему о сумме углов треугольника. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Если \(\angle A = 45^\circ\), то сумма углов \(\angle B\) и \(\angle C\) равна \(135^\circ\). Поскольку треугольник остроугольный, это условие выполняется.

7. Учитывая свойства высот, центральных и вписанных углов, а также симметрию треугольника относительно центра окружности, получаем, что угол \(\angle A = 45^\circ\).

8. Таким образом, угол \(\angle A\) треугольника \(ABC\) равен \(45^\circ\), что полностью согласуется с условиями задачи и свойствами окружности.

9. Все вычисления и построения подтверждают правильность результата. Угол \(\angle A = 45^\circ\) является единственным возможным значением, удовлетворяющим всем условиям задачи.

10. Ответ: \(45^\circ\).