ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.52 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В остроугольном треугольнике АВС точки В, Н, О и С, где Н ортоцентр, О центр описанной окружности, лежат на одной окружности. Найдите угол ВАС

Так как точки \(B\), \(H\), \(O\) и \(C\) лежат на одной окружности, треугольник \(ABC\) является равносторонним. Следовательно, угол \(\angle BAC = 60^\circ\).

1. Рассмотрим остроугольный треугольник \(ABC\), в котором точки \(B\), \(H\), \(O\) и \(C\) лежат на одной окружности. Здесь \(H\) — ортоцентр треугольника, а \(O\) — центр описанной окружности. Это условие говорит о том, что данные точки образуют вписанный четырёхугольник.
2. Вписанный четырёхугольник имеет важное свойство: сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Однако в данном случае мы используем другое свойство, связанное с симметрией треугольника и расположением ортоцентра и центра описанной окружности.
3. В равностороннем треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центроид совпадают. Таким образом, если точки \(B\), \(H\), \(O\) и \(C\) лежат на одной окружности, это указывает на равносторонность треугольника \(ABC\).
4. В равностороннем треугольнике все стороны равны, а также все углы равны между собой. Каждый угол равностороннего треугольника равен \(60^\circ\).
5. Таким образом, в треугольнике \(ABC\) угол \(\angle BAC\) равен \(60^\circ\), так как треугольник является равносторонним.