ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.53 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В остроугольном треугольнике АВС точка Н ортоцентр, точка О центр описанной окружности, точка J центр вписанной окружности, \(\angle BAC = 60^\circ\). Докажите, что точки В, Н, О, Ј и С лежат на одной окружности.
Так как угол \(\angle BAC = 60^\circ\), треугольник \(ABC\) является равносторонним. В равностороннем треугольнике ортоцентр \(H\), центр описанной окружности \(O\), центр вписанной окружности \(J\), а также вершины треугольника \(B\) и \(C\) лежат на одной окружности.
1. Рассмотрим остроугольный треугольник \(ABC\), в котором задано, что угол \(\angle BAC = 60^\circ\). Поскольку один из углов треугольника равен \(60^\circ\), а треугольник является остроугольным, это указывает на то, что треугольник может быть равносторонним. Проверим это предположение.
2. В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\), а все стороны равны между собой. Если \(\angle BAC = 60^\circ\), то по свойству равностороннего треугольника углы \(\angle ABC\) и \(\angle BCA\) также равны \(60^\circ\). Таким образом, \(\angle ABC = \angle BCA = \angle BAC = 60^\circ\), что подтверждает равносторонность треугольника \(ABC\).
3. В равностороннем треугольнике ортоцентр \(H\), центр описанной окружности \(O\), и центр вписанной окружности \(J\) совпадают в одной точке. Это связано с симметрией равностороннего треугольника, где высоты, медианы и биссектрисы, проведённые из одной вершины, совпадают. Таким образом, точки \(H\), \(O\) и \(J\) находятся в центре треугольника \(ABC\).
4. Описанная окружность треугольника \(ABC\) проходит через все три вершины треугольника \(A\), \(B\) и \(C\). Так как треугольник равносторонний, радиус описанной окружности равен расстоянию от центра окружности \(O\) до любой из вершин треугольника. Центр описанной окружности \(O\) совпадает с центром треугольника.
5. В равностороннем треугольнике вписанная окружность касается всех сторон треугольника в их серединах. Центр вписанной окружности \(J\) совпадает с центром треугольника \(ABC\), то есть с точкой \(O\). Таким образом, радиусы описанной и вписанной окружностей связаны, и центр окружностей находится в одной точке.
6. Рассмотрим окружность, проходящую через точки \(B\), \(C\), \(H\), \(O\) и \(J\). Так как \(H\), \(O\) и \(J\) совпадают, а \(B\) и \(C\) — это вершины треугольника \(ABC\), которые лежат на описанной окружности, то все эти точки лежат на одной окружности.
7. Докажем, что все указанные точки лежат на одной окружности. Для этого воспользуемся теоремой о том, что если четыре точки лежат на одной окружности, то сумма противоположных углов четырёхугольника, образованного этими точками, равна \(180^\circ\). В данном случае, так как треугольник равносторонний, все углы равны \(60^\circ\), и точки \(B\), \(C\), \(H\), \(O\) и \(J\) образуют правильную окружность.
8. Таким образом, точки \(B\), \(H\), \(O\), \(J\) и \(C\) лежат на одной окружности, которая является описанной окружностью треугольника \(ABC\).
9. Следовательно, доказано, что точки \(B\), \(H\), \(O\), \(J\) и \(C\) лежат на одной окружности.
