ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.54 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Многоугольник, все вершины которого принадлежат одной окружности, разделён непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди указанных треугольников только один может быть остроугольным.

Дано: многоугольник вписан в окружность. Все его вершины лежат на одной окружности. Диагонали делят многоугольник на треугольники.

1. Центр окружности, описанной вокруг многоугольника, совпадает с центром окружности, описанной вокруг каждого треугольника. Это так, потому что все вершины треугольников лежат на одной окружности.

2. Если треугольник остроугольный, то центр окружности находится внутри него. Если треугольник тупоугольный, то центр окружности находится вне его.

3. Центр окружности только один, поэтому он может находиться внутри только одного треугольника. Этот треугольник будет остроугольным.

4. Остальные треугольники будут тупоугольными, и их центры будут находиться вне треугольников.

Ответ: среди всех треугольников, на которые делится многоугольник, только один может быть остроугольным.

Дано: многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности, разделён диагоналями на треугольники. Требуется доказать, что среди указанных треугольников только один может быть остроугольным.

1. Рассмотрим свойства окружности, описанной около многоугольника. Если все вершины многоугольника лежат на одной окружности, то эта окружность является описанной для всех треугольников, на которые разделён многоугольник диагоналями. Это следует из определения описанной окружности: окружность, проходящая через все вершины треугольника, является описанной для него.

2. Для каждого треугольника, на который разделён многоугольник, центр описанной окружности совпадает с центром окружности, описанной вокруг всего многоугольника, так как окружность одна. По свойству геометрии, центр описанной окружности треугольника находится внутри треугольника, если он остроугольный.

3. Если треугольник тупоугольный, то центр описанной окружности будет находиться вне треугольника. Это объясняется тем, что в тупоугольном треугольнике угол, больший \(90^\circ\), выталкивает центр окружности за пределы треугольника. Таким образом, тупоугольные треугольники не могут содержать центр окружности внутри себя.

4. Рассмотрим все треугольники, на которые разделён многоугольник. Так как центр окружности единственный и совпадает с центром окружности, описанной вокруг всего многоугольника, то он может находиться внутри только одного треугольника. Этот треугольник обязательно остроугольный, так как для остроугольного треугольника центр описанной окружности всегда находится внутри.

5. Следовательно, среди всех треугольников, на которые разделён многоугольник, только один может быть остроугольным, так как только для одного треугольника центр описанной окружности будет находиться внутри, а для остальных треугольников он будет снаружи. Это доказывает утверждение задачи.