ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.55 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В окружность вписан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. На большем катете ВС отметили точку D так, что АС = BD. Точка Е середина дуги АСВ. Найдите угол DEC.
В треугольнике \( \triangle ACE \) и \( \triangle BDE \) углы при вершине \( E \) равны, так как точка \( E \) является серединой дуги \( ACB \), а дуга \( AB \) охватывает угол \( 90^\circ \). Следовательно, угол \( \angle DEC = 90^\circ \).
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \), вписанный в окружность с гипотенузой \( AB \). Известно, что точка \( E \) является серединой дуги \( ACB \), а точка \( D \) на катете \( BC \) выбрана так, что \( AC = BD \). Необходимо найти угол \( \angle DEC \).
2. Так как треугольник \( \triangle ABC \) прямоугольный, то гипотенуза \( AB \) является диаметром окружности, описанной вокруг треугольника. Это следует из свойства: если треугольник вписан в окружность и один из его углов прямой, то гипотенуза является диаметром окружности.
3. Точка \( E \) — середина дуги \( ACB \), которая не содержит точку \( C \). Это означает, что точка \( E \) равноудалена от концов дуги \( A \) и \( B \). Следовательно, угол \( \angle AEB \), опирающийся на дугу \( AB \), равен \( 90^\circ \).
4. Рассмотрим треугольники \( \triangle ACE \) и \( \triangle BDE \). По условию \( AC = BD \), а \( E \) равноудалена от точек \( A \) и \( B \). Это означает, что треугольники \( \triangle ACE \) и \( \triangle BDE \) равнобедренные.
5. Угол \( \angle DEC \) является внешним углом для треугольника \( \triangle ACE \), опирающегося на дугу \( AC \). Так как \( \angle AEC \) и \( \angle BEC \) равны (точка \( E \) делит дугу \( ACB \) пополам), угол \( \angle DEC \) равен половине дуги \( AB \), то есть \( 90^\circ \).
6. Также можно заметить, что угол \( \angle DEC \) опирается на диаметр \( AB \) окружности. По свойству вписанного угла, угол, опирающийся на диаметр, всегда равен \( 90^\circ \).
7. Таким образом, \( \angle DEC = 90^\circ \).
Ответ: \( \angle DEC = 90^\circ \).
