ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.56 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На рисунке 8.21 изображены две окружности с центрами О1 и О2. Постройте прямую 1, которая касается этих окружностей так, что точки касания лежат в одной полуплоскости относительно прямой О1О2 (такую прямую называют внешней общей касательной к двум данным окружностям).

1. Соединяем центры окружностей \(O_1\) и \(O_2\).
2. Строим внешнюю общую касательную \(l\), которая касается окружностей так, чтобы точки касания находились в одной полуплоскости относительно прямой \(O_1O_2\).
3. Для построения касательной используем свойство, что касательная перпендикулярна радиусу окружности, проведенному в точку касания.

1. Соединяем центры окружностей \(O_1\) и \(O_2\) отрезком. Этот отрезок обозначим как \(O_1O_2\). Он является базовой осью симметрии для построения касательной.

2. Обозначим радиусы окружностей как \(r_1\) и \(r_2\), где \(r_1\) — это радиус окружности с центром \(O_1\), а \(r_2\) — радиус окружности с центром \(O_2\). Пусть \(r_1 > r_2\). Расстояние между центрами окружностей обозначим как \(d = |O_1O_2|\).

3. Для построения внешней общей касательной необходимо определить точки касания \(T_1\) и \(T_2\) на окружностях. Эти точки расположены так, чтобы прямая \(T_1T_2\) была перпендикулярна радиусам окружностей, проведенным в точки касания.

4. Рассмотрим вспомогательную задачу: построим точку \(P\) на прямой \(O_1O_2\), такую, что разность расстояний от \(P\) до \(O_1\) и \(O_2\) равна разности радиусов окружностей \(r_1 — r_2\). Для этого:
— Определяем положение точки \(P\) по формуле: \(P = \frac{r_1 \cdot O_2 + r_2 \cdot O_1}{r_1 + r_2}\).
— Точка \(P\) делит отрезок \(O_1O_2\) в отношении \(r_1 : r_2\).

5. Через точку \(P\) проводим окружность радиуса \(r = \sqrt{d^2 — (r_1 — r_2)^2}\), где \(d = |O_1O_2|\). Эта окружность служит для нахождения точек касания.

6. Определяем точки \(T_1\) и \(T_2\), где касательная пересекает окружности:
— Проводим линии из точки \(P\) к окружностям \(O_1\) и \(O_2\), используя перпендикулярность касательной и радиуса.
— Находим координаты точек \(T_1\) и \(T_2\) через уравнение окружности и условия касания.

7. Строим прямую \(T_1T_2\), которая является внешней общей касательной. Эта прямая проходит через точки касания \(T_1\) и \(T_2\) и лежит в одной полуплоскости относительно прямой \(O_1O_2\).

8. Проверяем, что прямая \(T_1T_2\) перпендикулярна радиусам \(O_1T_1\) и \(O_2T_2\) в точках касания. Это подтверждает, что построенная линия действительно является касательной.

9. Уточняем положение касательной относительно окружностей. Она должна быть внешней, то есть не пересекать внутренние области окружностей.

10. Окончательно убеждаемся, что точки касания \(T_1\) и \(T_2\) находятся в одной полуплоскости относительно прямой \(O_1O_2\). Если это условие выполнено, построение завершено.