ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.57 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и радиусу вписанной окружности.
1. Обозначим \( S \) как центр вписанной окружности в треугольник \( \triangle ABC \).
2. Угол \( \angle ASC \) равен \( 90^\circ + \frac{1}{2}\beta \), где \( \beta \) — угол, противолежащий стороне \( a \).
3. Построим треугольник \( \triangle ASC \), где \( AC = a \), \( \angle ASC = 90^\circ + \frac{1}{2}\beta \), а \( OC = R \), где \( R \) — радиус вписанной окружности.
4. Построим треугольник \( \triangle AOC \), где \( AC = a \), \( AO = OC = R \).
5. Соединим все вершины треугольника \( \triangle ABC \), который является искомым.
1. Обозначим треугольник \( \triangle ABC \), где известна сторона \( a \), угол \( \beta \), противолежащий этой стороне, и радиус вписанной окружности \( R \). Центр вписанной окружности обозначим как \( S \). Вспомним, что центр вписанной окружности \( S \) находится на пересечении биссектрис треугольника.
2. Угол \( \angle ASC \) вычисляется по формуле \( \angle ASC = 90^\circ + \frac{1}{2}\beta \). Это следует из свойства биссектрисы: угол между биссектрисой и стороной треугольника равен половине угла, противолежащего стороне.
3. Построим точку \( S \) — центр вписанной окружности. Для этого:
— Нарисуем отрезок \( AC \), равный длине \( a \).
— Проведем угол \( \angle ASC = 90^\circ + \frac{1}{2}\beta \) от точки \( C \) к отрезку \( AC \). Этот угол указывает направление на центр вписанной окружности.
4. Отложим от точки \( C \) отрезок \( OC = R \), перпендикулярный стороне \( AC \), так как радиус вписанной окружности всегда перпендикулярен стороне треугольника в точке касания. Точка \( S \) лежит на пересечении биссектрисы и прямой, отложенной под углом \( \angle ASC \).
5. Построим треугольник \( \triangle ASC \). Для этого:
— Отметим точку \( S \), как описано выше.
— Построим \( \triangle ASC \), где \( AC = a \), \( \angle ASC = 90^\circ + \frac{1}{2}\beta \), а \( OC = R \).
6. Построим треугольник \( \triangle AOC \). Для этого:
— Проведем отрезок \( AO = R \), равный радиусу вписанной окружности, из точки \( A \) к точке \( O \), которая является точкой касания вписанной окружности со стороной \( AC \).
— Соединим точки \( A \), \( O \), \( C \), чтобы получить \( \triangle AOC \).
7. Соединим точки \( A \), \( B \), \( C \), чтобы получить треугольник \( \triangle ABC \). Для нахождения точки \( B \):
— Проведем биссектрису угла \( \beta \) из вершины \( B \) к стороне \( AC \). Эта биссектриса пересечет сторону в точке касания вписанной окружности.
— Точка \( B \) определяется как вершина, лежащая на продолжении биссектрисы, так чтобы угол \( \beta \) был выполнен.
8. Проверим построение:
— Убедимся, что радиус вписанной окружности \( R \) одинаков для всех сторон \( \triangle ABC \).
— Убедимся, что сумма углов треугольника \( \triangle ABC \) равна \( 180^\circ \).
9. Завершим построение, проверив, что все условия задачи выполнены:
— Сторона \( a \) задана.
— Угол \( \beta \) построен.
— Радиус вписанной окружности \( R \) соответствует построению.
10. Полученный треугольник \( \triangle ABC \) является искомым.
