ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.59 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На хорде АВ окружности с центром О отметили точку С. Описанная окружность треугольника АОС пересекает данную окружность в точке D. Докажите, что ВC = CD.

Пусть \( O \) — центр окружности, \( OD \) — радиус. Угол \( \angle COD \) опирается на дугу \( CD \), а угол \( \angle BOD \) — на дугу \( BD \). Так как \( \angle COD = \angle BOD \), то дуги \( CD \) и \( BD \) равны. Следовательно, хорды \( BC \) и \( CD \) равны, то есть \( BC = CD \).

1. Рассмотрим окружность с центром \( O \), на которой задана хорда \( AB \). Пусть точка \( C \) лежит на этой хорде. Также рассматриваем описанную окружность треугольника \( AOC \), которая пересекает исходную окружность в точке \( D \). Требуется доказать, что \( BC = CD \).

2. Проведем радиус \( OD \) к точке \( D \). Радиус окружности перпендикулярен хорде, которую он делит пополам. Таким образом, \( OD \) делит дугу \( CD \) пополам.

3. Рассмотрим углы \( \angle COD \) и \( \angle BOD \), которые опираются на дуги \( CD \) и \( BD \) соответственно. По свойству вписанных углов:
\( \angle COD = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } CD \),
\( \angle BOD = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BD \).

4. Так как точки \( C \) и \( D \) лежат на одной окружности, описанной вокруг треугольника \( AOC \), то углы \( \angle COD \) и \( \angle BOD \) равны. Следовательно,
\( \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } CD = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BD \),
что означает равенство дуг \( CD \) и \( BD \).

5. Если дуги \( CD \) и \( BD \) равны, то равны и соответствующие им хорды \( BC \) и \( CD \), так как длина хорды зависит только от длины соответствующей дуги в данной окружности.

6. Рассмотрим треугольник \( BOC \). Радиусы \( OB \) и \( OC \) равны, так как оба являются радиусами одной и той же окружности. Следовательно, треугольник \( BOC \) равнобедренный, и его высота \( OD \), проведенная к основанию \( BC \), делит его пополам.

7. Аналогично, в треугольнике \( COD \), радиусы \( OC \) и \( OD \) равны, и высота \( OB \), проведенная к основанию \( CD \), делит его пополам.

8. Таким образом, хорды \( BC \) и \( CD \) равны, так как их длины определяются равными дугами \( CD \) и \( BD \), а также равными отрезками, на которые делятся эти хорды радиусами \( OB \) и \( OD \).

9. Следовательно, доказано, что \( BC = CD \).

10. Итог: хорды \( BC \) и \( CD \) равны, что подтверждается равенством дуг, равенством вписанных углов и свойствами равнобедренных треугольников.