ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.60 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте квадрат по четырём точкам, лежащим по одной на каждой из четырёх его сторон.

Пусть \( M_1, M_2, M_3, M_4 \) — заданные точки на сторонах квадрата. Построим окружности с диаметрами \( M_1M_2 \) и \( M_3M_4 \). Эти окружности пересекаются в двух точках, которые будут противоположными вершинами квадрата. Диагонали квадрата делят дуги окружностей пополам

1. Пусть \( M_1, M_2, M_3, M_4 \) — это заданные точки, каждая из которых лежит на одной из сторон искомого квадрата. Эти точки известны и расположены таким образом, что каждая из них принадлежит одной из сторон квадрата, но не совпадает с его вершинами.

2. Построим окружность, диаметр которой равен отрезку \( M_1M_2 \). Согласно свойству окружности, угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Это означает, что все точки на окружности, кроме \( M_1 \) и \( M_2 \), находятся под прямым углом относительно диаметра \( M_1M_2 \).

3. Аналогично построим вторую окружность, диаметр которой равен отрезку \( M_3M_4 \). Все точки на этой окружности, кроме \( M_3 \) и \( M_4 \), также находятся под прямым углом относительно диаметра \( M_3M_4 \).

4. Найдем точки пересечения двух окружностей, построенных на диаметрах \( M_1M_2 \) и \( M_3M_4 \). Эти точки пересечения обозначим как \( A \) и \( C \). Точки \( A \) и \( C \) являются противоположными вершинами искомого квадрата, так как диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

5. Проведем отрезок \( AC \), который является одной из диагоналей квадрата. Центр квадрата будет находиться в середине отрезка \( AC \). Обозначим этот центр как \( O \). Его координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек \( A \) и \( C \):
\( O_x = \frac{A_x + C_x}{2}, \, O_y = \frac{A_y + C_y}{2} \).

6. Проведем вторую диагональ квадрата, которая перпендикулярна диагонали \( AC \) и проходит через точку \( O \). Обозначим точки пересечения этой диагонали с окружностями как \( B \) и \( D \). Точки \( B \) и \( D \), таким образом, являются оставшимися вершинами квадрата.

7. Проверим, что диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются под прямым углом и делятся точкой \( O \) пополам. Для этого убедимся, что произведение угловых коэффициентов прямых \( AC \) и \( BD \) равно \(-1\), что подтверждает их перпендикулярность.

8. Убедимся, что длины диагоналей \( AC \) и \( BD \) равны. Длина диагонали квадрата может быть найдена по формуле:
\( d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \),
где \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) — координаты концов диагонали. Если длины совпадают, то построение выполнено корректно.

9. Проведем стороны квадрата, соединяя вершины \( A, B, C, D \) в правильном порядке. Для этого убедимся, что все стороны равны по длине, а углы между ними прямые. Длина стороны квадрата вычисляется как половина длины диагонали:
\( a = \frac{d}{\sqrt{2}} \).

10. Построение завершено. В результате мы получили квадрат с вершинами \( A, B, C, D \), диагонали которого равны, пересекаются под прямым углом, а стороны равны и взаимно перпендикулярны.