ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 8.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вершины квадрата ABCD лежат на окружности. На дуге АВ отметили произвольную точку М. Докажите, что \(\angle AMD = \angle CMD = \frac{1}{2} \angle CMB\).

Вершины квадрата ABCD лежат на окружности, следовательно, углы при вершинах A, B, C и D являются прямыми углами. Поэтому \(ZAMD = ZCMD = 90^\circ\) и \(ZCMB = 90^\circ\).

1) Дан квадрат ABCD, вершины которого лежат на окружности.
2) Согласно свойству квадрата, все его углы являются прямыми углами, то есть равны \(90^\circ\).
3) Поскольку точка M лежит на дуге AB, угол AMD является вписанным углом, опирающимся на эту дугу.
4) Согласно теореме о вписанных углах, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, \(ZAMD = \frac{ZACD}{2} = 90^\circ\).
5) Аналогично, угол CMD является вписанным углом, опирающимся на дугу CD, поэтому \(ZCMD = 90^\circ\). Кроме того, угол CMB является вписанным углом, опирающимся на дугу CB, поэтому \(ZCMB = 90^\circ\).