ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 9.1 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Концы хорды делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 3 : 1. Через один из концов хорды проведена касательная к данной окружности. Найдите острый угол между этой касательной и данной хордой

Концы хорды делят окружность на дуги, градусные меры которых относятся как \(3:1\). Пусть меньшая дуга равна \(x\), тогда большая дуга равна \(3x\). Сумма всех дуг окружности равна \(360^\circ\):
\(x + 3x = 360^\circ\),
\(4x = 360^\circ\),
\(x = 90^\circ\).

Меньшая дуга равна \(90^\circ\), большая дуга равна \(270^\circ\). Угол между касательной и хордой равен половине меньшей дуги:
\(\angle = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).

1. Задача говорит, что концы хорды делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как \(3:1\). Это означает, что одна дуга в три раза больше другой. Пусть градусная мера меньшей дуги равна \(x\), тогда градусная мера большей дуги равна \(3x\).

2. Сумма всех дуг окружности равна \(360^\circ\), так как полная окружность составляет \(360^\circ\). Запишем уравнение, выражающее это свойство:
\(x + 3x = 360^\circ\).

3. Сложим градусные меры дуг:
\(4x = 360^\circ\).

4. Разделим обе стороны уравнения на \(4\), чтобы найти значение \(x\):
\(x = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ\).

5. Теперь мы знаем, что меньшая дуга равна \(90^\circ\), а большая дуга равна \(3x = 3 \cdot 90^\circ = 270^\circ\).

6. Через один из концов хорды проведена касательная к окружности. Угол между касательной и хордой определяется как половина градусной меры дуги, на которую опирается этот угол. В данном случае, угол между касательной и хордой опирается на меньшую дугу, равную \(90^\circ\).

7. Согласно теореме о касательной и хорде, угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Таким образом, угол равен:
\(\angle = \frac{x}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\).

8. Проверим рассуждения:
— Сумма дуг окружности действительно равна \(360^\circ\).
— Отношение дуг \(3:1\) соблюдено, так как \(270^\circ : 90^\circ = 3:1\).
— Угол между касательной и хордой правильно найден как половина меньшей дуги.

9. Таким образом, все условия задачи выполнены, и решение соответствует требованиям.

10. Ответ: угол между касательной и хордой равен \(45^\circ\).