ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 9.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В окружности проведена хорда. На меньшей из образовавшихся дуг отметили точку и через неё провели касательную к окружности. Найдите на касательной точку, из которой хорда видна под наибольшим углом.
1) Проведём диаметр, перпендикулярный хорде. Середина хорды лежит на этом диаметре.
2) Точка касания касательной лежит на прямой, соединяющей центр окружности и середину хорды.
3) Наибольший угол между касательной и хордой будет, когда касательная перпендикулярна хорде.
4) Искомая точка на касательной — точка пересечения касательной и прямой, перпендикулярной хорде через её середину.
5) Пусть радиус окружности \(R\), длина хорды \(2a\). Тогда расстояние от центра до середины хорды \(R — \sqrt{R^2 — a^2}\).
6) Угол между касательной и хордой максимален, когда он равен \(\frac{\pi}{2}\).
7) Искомая точка на касательной находится на расстоянии \(R — \sqrt{R^2 — a^2}\) от центра окружности.
В окружности проведена хорда. На меньшей из образовавшихся дуг отметили точку и через неё провели касательную к окружности. Требуется найти на касательной точку, из которой хорда видна под наибольшим углом.
1) Проведём диаметр окружности, перпендикулярный хорде. Точка пересечения диаметра и хорды будет серединой хорды.
2) Точка касания касательной лежит на прямой, проходящей через центр окружности и середину хорды, так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
3) Угол между касательной и хордой будет наибольшим, когда касательная перпендикулярна хорде, так как в этом случае угол между ними равен \(\frac{\pi}{2}\).
4) Таким образом, искомая точка на касательной находится в точке, где касательная перпендикулярна хорде.
5) Для построения этой точки, проведём прямую, перпендикулярную хорде, через середину хорды. Точка пересечения этой прямой и касательной будет искомой точкой.
6) Пусть радиус окружности равен \(R\), а длина хорды равна \(2a\). Тогда длина отрезка от центра до середины хорды равна \(R — \sqrt{R^2 — a^2}\).
7) Угол между касательной и хордой будет наибольшим, когда касательная перпендикулярна хорде, то есть угол равен \(\frac{\pi}{2}\).
8) Таким образом, искомая точка на касательной находится на расстоянии \(R — \sqrt{R^2 — a^2}\) от центра окружности.
9) Для построения этой точки, проведём прямую, перпендикулярную хорде, через середину хорды. Точка пересечения этой прямой и касательной будет искомой точкой.
10) Ответ: Искомая точка на касательной, из которой хорда видна под наибольшим углом, находится в точке пересечения касательной и прямой, перпендикулярной хорде и проходящей через середину хорды, на расстоянии \(R — \sqrt{R^2 — a^2}\) от центра окружности.
