ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 9.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) на боковой стороне АВ отметили точку D. Около треугольника ADC описана окружность. Касательная, проведённая к этой окружности в точке D, пересекает описанную окружность треугольника BDC в точке М. Докажите, что \(ВМ | АС\).

Согласно условию, в равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) на боковой стороне AB отмечена точка D. Около треугольника ADC описана окружность, и касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает описанную окружность треугольника BDC в точке M. Необходимо доказать, что BM ⊥ AC.

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) на боковой стороне AB отмечена точка D. Около треугольника ADC описана окружность, и касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает описанную окружность треугольника BDC в точке M. Необходимо доказать, что BM ⊥ AC.

1) Рассмотрим треугольник BDC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол BAC = \(2\alpha\), где \(\alpha\) — угол при основании треугольника ABC.
2) Угол BDC в треугольнике BDC равен \(\alpha\), так как он вписан в окружность и опирается на дугу BC.
3) Угол BMD в треугольнике BMD равен \(\alpha\), так как он вписан в окружность и опирается на дугу BD.
4) Поскольку углы BDC и BMD равны, то прямые BC и BM параллельны.
5) Следовательно, BM ⊥ AC, так как BC ⊥ AC (в равнобедренном треугольнике ABC).
6) Из свойств параллельных прямых и перпендикулярности следует, что BM ⊥ AC.
7) Таким образом, мы доказали, что BM ⊥ AC.
8) Используя теорему о перпендикулярности касательной и радиуса, мы можем заключить, что BM ⊥ AC.
9) Кроме того, из равенства углов BDC и BMD следует, что BC ‖ BM.
10) Поэтому BM ⊥ AC, что и требовалось доказать.