ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 9.2 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вписанная окружность треугольника АВС касается его сторон АВ, ВС и СА соответственно в точках С1, А, и В1. Найдите углы треугольника A1B1C1, если \(ZA = 38°\), \(ZB = 86°\)

1. Угол \( \angle C \) вычисляется как \( \angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B = 180^\circ — 38^\circ — 86^\circ = 56^\circ \).
2. Угол \( \angle B_1OC \) равен \( \angle B_1OC = 180^\circ — \angle A = 180^\circ — 38^\circ = 142^\circ \). Следовательно, \( \angle C_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 142^\circ = 71^\circ \).
3. Угол \( \angle B_1OA_1 \) равен \( \angle B_1OA_1 = 180^\circ — \angle C = 180^\circ — 56^\circ = 124^\circ \). Следовательно, \( \angle C_1A_1 = \frac{1}{2} \cdot 124^\circ = 62^\circ \).
4. Угол \( \angle C_1OC \) равен \( \angle C_1OC = 180^\circ — \angle B = 180^\circ — 86^\circ = 94^\circ \). Следовательно, \( \angle B_1 = \frac{1}{2} \cdot 94^\circ = 47^\circ \).

1. Сначала находим угол \( \angle C \) с помощью теоремы о сумме углов треугольника. Согласно этой теореме, сумма углов любого треугольника равна \( 180^\circ \). Дано: \( \angle A = 38^\circ \), \( \angle B = 86^\circ \).

Тогда:
\(
\angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B = 180^\circ — 38^\circ — 86^\circ = 56^\circ.
\)
2. Рассматриваем угол \( \angle B_1OC \). Этот угол является внешним углом треугольника \( \triangle ABC \), смежным с углом \( \angle A \). По свойству внешнего угла треугольника, внешний угол равен разности \( 180^\circ \) и внутреннего угла, с которым он смежен. Тогда:
\(
\angle B_1OC = 180^\circ — \angle A = 180^\circ — 38^\circ = 142^\circ.
\)
Теперь найдём угол \( \angle C_1B_1 \) как половину угла \( \angle B_1OC \), так как радиусы, проведённые к точкам касания, делят углы пополам:
\(
\angle C_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot \angle B_1OC = \frac{1}{2} \cdot 142^\circ = 71^\circ.
\)
3. Рассматриваем угол \( \angle B_1OA_1 \). Этот угол является внешним углом треугольника \( \triangle ABC \), смежным с углом \( \angle C \). По свойству внешнего угла треугольника:
\(
\angle B_1OA_1 = 180^\circ — \angle C = 180^\circ — 56^\circ = 124^\circ.
\)
Теперь найдём угол \( \angle C_1A_1 \) как половину угла \( \angle B_1OA_1 \), так как радиусы, проведённые к точкам касания, делят углы пополам:
\(
\angle C_1A_1 = \frac{1}{2} \cdot \angle B_1OA_1 = \frac{1}{2} \cdot 124^\circ = 62^\circ.
\)
4. Рассматриваем угол \( \angle C_1OC \). Этот угол является внешним углом треугольника \( \triangle ABC \), смежным с углом \( \angle B \). По свойству внешнего угла треугольника:
\(
\angle C_1OC = 180^\circ — \angle B = 180^\circ — 86^\circ = 94^\circ.
\)
Теперь найдём угол \( \angle B_1 \) как половину угла \( \angle C_1OC \), так как радиусы, проведённые к точкам касания, делят углы пополам:
\(
\angle B_1 = \frac{1}{2} \cdot \angle C_1OC = \frac{1}{2} \cdot 94^\circ = 47^\circ.
\)
5. Проверим правильность решения. Сумма углов треугольника \( \triangle A_1B_1C_1 \) должна быть равна \( 180^\circ \). Подставим найденные значения:
\(
\angle C_1B_1 + \angle B_1 + \angle C_1A_1 = 71^\circ + 47^\circ + 62^\circ = 180^\circ.
\)
Таким образом, все вычисления верны.