ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 9.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Через точки А и М проведена окружность, пересекающая стороны АС и АВ в точках К и L соответственно. Докажите, что если \(KL | CB\), то прямая ВС касательная к окружности.

Если прямая KL параллельна стороне CB треугольника ABC, то прямая BC является касательной к окружности, проходящей через точки A и M.

Дано: в треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Через точки A и M проведена окружность, пересекающая стороны AC и AB в точках K и L соответственно. Если прямая KL параллельна стороне CB, то прямая BC является касательной к этой окружности.

Доказательство:
1) Рассмотрим треугольник ABC, в котором проведена биссектриса AM.
2) Через точки A и M проведена окружность, пересекающая стороны AC и AB в точках K и L соответственно.
3) Согласно условию, прямая KL параллельна стороне CB треугольника ABC.
4) Так как прямая KL параллельна стороне CB, то угол между прямыми KL и BC равен 90 градусов.
5) Согласно теореме о вписанном угле, если угол между касательной и хордой равен 90 градусов, то эта касательная является перпендикулярной к хорде.
6) Следовательно, прямая BC является касательной к окружности, проходящей через точки A и M.
7) Таким образом, если прямая KL параллельна стороне CB треугольника ABC, то прямая BC является касательной к окружности, проходящей через точки A и M.
8) Для подтверждения этого вывода можно использовать формулу для вычисления угла между двумя прямыми: \(\cos \theta = \frac{a_1a_2 + b_1b_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}\), где \(a_1, b_1\) и \(a_2, b_2\) — коэффициенты наклона двух прямых.
9) Применив эту формулу к прямым KL и BC, можно показать, что угол между ними равен 90 градусов.
10) Таким образом, доказано, что если прямая KL параллельна стороне CB треугольника ABC, то прямая BC является касательной к окружности, проходящей через точки A и M.