ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 9.27 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки Н и О соответственно ортоцентр и центр описанной окружности треугольника АВС. Пусть точка М середина дуги АСВ. Докажите, что если \(ZC = 120°\), то \(MH = МО\).

Докажем, что MH = MO. Поскольку точка M является серединой дуги AСB, то угол ZC = 120°. Так как точка H является ортоцентром треугольника ABC, то прямые AH, BH и CH пересекаются в одной точке H. Аналогично, точка O является центром описанной окружности треугольника ABC, и прямые AO, BO и CO пересекаются в одной точке O. Таким образом, треугольники OMH и OMC конгруэнтны, поэтому MH = MO.

Доказательство того, что расстояние от точки M, являющейся серединой дуги AСB, до точек H и O равны:

1) Пусть треугольник ABC имеет угол \(ZC = 120°\). Это означает, что угол при вершине C равен 120 градусам.

2) Точка H является ортоцентром треугольника ABC. Ортоцентр — это точка пересечения высот треугольника. Следовательно, прямые AH, BH и CH пересекаются в одной точке H.

3) Точка O является центром описанной окружности треугольника ABC. Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Таким образом, прямые AO, BO и CO пересекаются в одной точке O.

4) Рассмотрим треугольники OMH и OMC. Поскольку точка M является серединой дуги AСB, то угол \(ZC = 120°\).

5) Так как треугольники OMH и OMC конгруэнтны (имеют равные стороны и углы), то \(MH = MO\). Следовательно, расстояние от точки M до точек H и O равны.

6) Для доказательства конгруэнтности треугольников OMH и OMC можно использовать признак конгруэнтности по двум сторонам и углу между ними. Так как точка M является серединой дуги AСB, то стороны OM и OC равны, а угол ZOC равен 120°. Аналогично, стороны OM и OH равны, а угол ZOH также равен 120°. Таким образом, треугольники OMH и OMC конгруэнтны.

7) Следовательно, расстояние от точки M до точек H и O равны, так как они являются соответствующими сторонами конгруэнтных треугольников.