ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 9.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружность, проходящая через вершины В и С прямоугольного треугольника АВС, пересекает гипотенузу АВ в точке D. Касательные к этой окружности, проведённые в точках С и D, пересекаются в точке О. Докажите, что \(ОА = ОС\)

Согласно условию задачи, окружность, проходящая через вершины B и C прямоугольного треугольника ABC, пересекает гипотенузу AB в точке D. Касательные к этой окружности, проведённые в точках C и D, пересекаются в точке O. Требуется доказать, что OA = OC.

Согласно условию задачи, окружность, проходящая через вершины B и C прямоугольного треугольника ABC, пересекает гипотенузу AB в точке D. Касательные к этой окружности, проведённые в точках C и D, пересекаются в точке O. Требуется доказать, что OA = OC.

Доказательство:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Согласно условию, окружность проходит через вершины B и C этого треугольника. Точка D является точкой пересечения гипотенузы AB и окружности. Касательные к окружности, проведённые в точках C и D, пересекаются в точке O.

Докажем, что OA = OC. Так как окружность проходит через вершины B и C прямоугольного треугольника ABC, то угол между касательной в точке C и стороной AC равен углу между гипотенузой AB и стороной BC, то есть \(\angle COA = \angle BAC\). Аналогично, угол между касательной в точке D и стороной AB равен углу между гипотенузой AB и стороной AC, то есть \(\angle AOD = \angle BAC\). Следовательно, \(\angle COA = \angle AOD\), что означает, что треугольники COA и AOD равны по двум углам. Таким образом, OA = OC, что и требовалось доказать.