ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 9.3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М (рис. 9.10), \(UAC = 50°\), \(UBD = 70°\). Найдите угол АМС.

Угол \( \angle AMC \) равен половине суммы углов \( \angle AOC \) и \( \angle BOD \), которые опираются на дуги \( AC \) и \( BD \).

\(
\angle AMC = \frac{\angle AOC + \angle BOD}{2} = \frac{50^\circ + 70^\circ}{2} = 60^\circ
\)

1. Согласно теореме о пересечении хорд окружности, угол между пересекающимися хордами равен половине суммы дуг, на которые опираются эти хорды.

2. В данном случае хорды \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке \( M \), и нам нужно найти угол \( \angle AMC \).

3. Дуга \( AC \) равна \( 50^\circ \), а дуга \( BD \) равна \( 70^\circ \) (по условию задачи).

4. Угол \( \angle AMC \) вычисляется по формуле: \( \angle AMC = \frac{\text{дуга } AC + \text{дуга } BD}{2} \).

5. Подставляем значения: \( \angle AMC = \frac{50^\circ + 70^\circ}{2} \).

6. Считаем сумму дуг: \( 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ \).

7. Делим результат на 2: \( \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \).

8. Таким образом, угол \( \angle AMC \) равен \( 60^\circ \).

9. Для наглядности можно представить себе окружность, на которой отмечены дуги \( AC \) и \( BD \). Угол между хордами \( AB \) и \( CD \) будет равен половине суммы этих дуг.

10. Данное решение полностью соответствует условию задачи и позволяет найти искомый угол \( \angle AMC \) с помощью геометрических построений и вычислений.

11. Кроме того, можно заметить, что угол \( \angle AMC \) равен половине суммы углов \( \angle AOC \) и \( \angle BOD \), опирающихся на дуги \( AC \) и \( BD \) соответственно.

12. Таким образом, мы получаем альтернативное выражение для угла \( \angle AMC \): \( \angle AMC = \frac{\angle AOC + \angle BOD}{2} \).

13. Подставляя значения углов \( \angle AOC = 50^\circ \) и \( \angle BOD = 70^\circ \), получаем:

\(
\angle AMC = \frac{50^\circ + 70^\circ}{2} = 60^\circ
\)