ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 9.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В четырёхугольнике три тупых угла. Докажите, что большей из двух его диагоналей является та, которая проведена из вершины острого угла.

Большей диагональю четырёхугольника с тремя тупыми углами является диагональ, проведённая из вершины острого угла.

Пусть четырёхугольник с тремя тупыми углами имеет вершины A, B, C и D. Тогда угол при вершине A является острым. Рассмотрим диагонали AC и BD этого четырёхугольника. Согласно свойству четырёхугольника, сумма углов равна \(360°\). Так как три угла тупые, их сумма больше \(270°\). Следовательно, четвёртый угол, в данном случае угол при вершине A, должен быть острым. Диагональ AC, проведённая из вершины острого угла A, будет больше диагонали BD, проведённой из вершины тупого угла B. Это можно показать, используя теорему о том, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любой из катетов. Пусть \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = c\) и \(DA = d\). Тогда длина диагонали AC равна \(\sqrt{a^2 + c^2}\), а длина диагонали BD равна \(\sqrt{b^2 + d^2}\). Так как угол A является острым, то \(a^2 + c^2 > b^2 + d^2\), и, следовательно, диагональ AC будет больше диагонали BD.