ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 9.7 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что окружность, касающаяся боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС в точках А и С соответственно, проходит через центр вписанной окружности этого треугольника

1) Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, где АВ = ВС.
2) Проведем биссектрису угла А, которая пересекает основание ВС в точке О. Согласно теореме о биссектрисе, точка О является центром вписанной окружности треугольника.
3) Проведем касательные к окружности в точках А и С. Согласно теореме о касательной к окружности, эти касательные перпендикулярны радиусам, проведенным в точки касания.
4) Так как радиусы, проведенные в точки касания А и С, являются биссектрисами углов треугольника, они пересекаются в центре вписанной окружности, то есть в точке О.
5) Следовательно, окружность, касающаяся боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС в точках А и С соответственно, проходит через центр вписанной окружности этого треугольника.

Для доказательства того, что окружность, касающаяся боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС в точках А и С соответственно, проходит через центр вписанной окружности этого треугольника, можно использовать следующие шаги:

1) Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, где АВ = ВС. Согласно определению равнобедренного треугольника, два угла треугольника равны, то есть угол А = угол С.

2) Проведем биссектрису угла А, которая пересекает основание ВС в точке О. Согласно теореме о биссектрисе треугольника, биссектриса угла делит противоположную сторону (в данном случае ВС) на два равных отрезка, то есть ВО = ОС.

3) Так как угол А = угол С, и биссектриса угла А делит основание ВС пополам, то можно сделать вывод, что треугольник АВС является равнобедренным.

4) Согласно теореме о вписанной окружности равнобедренного треугольника, центр вписанной окружности треугольника АВС находится на пересечении биссектрис углов треугольника, то есть в точке О.

5) Проведем касательные к окружности в точках А и С. Согласно теореме о касательной к окружности, эти касательные перпендикулярны радиусам, проведенным в точки касания.

6) Так как радиусы, проведенные в точки касания А и С, являются биссектрисами углов треугольника, они пересекаются в центре вписанной окружности, то есть в точке О.

7) Следовательно, окружность, касающаяся боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС в точках А и С соответственно, проходит через центр вписанной окружности этого треугольника.

8) Таким образом, мы можем записать, что центр вписанной окружности треугольника АВС находится в точке О, где пересекаются биссектрисы углов треугольника.

9) Радиусы, проведенные в точки касания А и С, являются биссектрисами углов треугольника и пересекаются в центре вписанной окружности, то есть в точке О.

10) Следовательно, окружность, касающаяся боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС в точках А и С соответственно, проходит через центр вписанной окружности этого треугольника.