ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 9.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

К окружности, описанной около треугольника АВС, проведена в точке В касательная, пересекающая прямую АС в точке D. Отрезок ВМ биссектриса треугольника АВС. Докажите, что \(BD= MD\).

Пусть ВМ — биссектриса треугольника АВС. Тогда из равнобедренности треугольника ВМО следует, что ВМ = МО. Так как ВМ — биссектриса, то BD = MD.

Пусть треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О. В точке В проведена касательная к окружности, пересекающая прямую АС в точке D. Отрезок ВМ является биссектрисой треугольника АВС. Докажем, что BD = MD.

Доказательство:
1) Рассмотрим треугольник ВМО. Так как ВМ — биссектриса треугольника АВС, то ВМ = МО в силу равнобедренности треугольника ВМО.
2) Из свойств биссектрисы следует, что угол ВМО равен половине угла АВС, то есть \(\angle ВМО = \frac{1}{2}\angle АВС\).
3) Так как точка В является точкой касания, то угол АВD равен углу АВС. Следовательно, \(\angle АВD = \angle АВС\).
4) Из равенства углов АВD и АВС и равенства сторон ВМ и МО следует, что треугольники АВD и АМО подобны.
5) Из подобия треугольников АВD и АМО вытекает, что \(\frac{АВ}{АМ} = \frac{АD}{АО}\).
6) Так как ВМ — биссектриса, то \(\frac{АВ}{АМ} = \frac{1}{2}\). Подставляя это в предыдущее равенство, получаем \(\frac{1}{2} = \frac{АD}{АО}\), откуда \(АD = \frac{1}{2}АО\).
7) Аналогично, из подобия треугольников АВD и АМО следует, что \(\frac{АВ}{АМ} = \frac{BD}{МО}\).
8) Используя равенство \(\frac{АВ}{АМ} = \frac{1}{2}\), получаем \(\frac{1}{2} = \frac{BD}{МО}\), откуда \(BD = \frac{1}{2}МО\).
9) Из равенства \(ВМ = МО\) и равенств \(АD = \frac{1}{2}АО\) и \(BD = \frac{1}{2}МО\) следует, что \(BD = MD\).