ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В окружности по одну сторону от её центра проведены две параллельные хорды длиной \(48 \, \text{см}\) и \(24 \, \text{см}\). Расстояние между хордами равно \(12 \, \text{см}\). Найдите радиус окружности.

1. \( AO^2 = AH^2 + OH^2 \),
\( AO^2 = 144 + (12 + x)^2 \).

2. \( CO^2 = CH^2 + OH^2 \),
\( CO^2 = 576 + x^2 \).

Сравнивая:
\( 144 + 24x + x^2 = 576 + x^2 \),
\( 24x = 432 \),
\( x = 12 \).

\( R^2 = 576 + 144 = 720 \),
\( R = 12\sqrt{5} \).

1. Рассмотрим первую хорду \( AB \) длиной \( 48 \, \text{см} \). Пусть \( O \) — центр окружности, \( H \) — проекция центра окружности на хорду \( AB \). Тогда \( AH = BH = \frac{AB}{2} = \frac{48}{2} = 24 \, \text{см} \). Расстояние от центра окружности \( O \) до хорды \( AB \) обозначим за \( OH \), а радиус окружности за \( R \). По теореме Пифагора для треугольника \( AOH \):
\( AO^2 = AH^2 + OH^2 \),
где \( AO = R \), \( AH = 24 \), \( OH = 12 + x \) (где \( x \) — расстояние между центром окружности и серединой второй хорды). Подставим:
\( R^2 = 24^2 + (12 + x)^2 \),
\( R^2 = 576 + (12 + x)^2 \).

2. Рассмотрим вторую хорду \( CD \) длиной \( 24 \, \text{см} \). Пусть \( O \) — центр окружности, \( K \) — проекция центра окружности на хорду \( CD \). Тогда \( CK = DK = \frac{CD}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, \text{см} \). Расстояние от центра окружности \( O \) до хорды \( CD \) обозначим за \( OK \), а радиус окружности за \( R \). По теореме Пифагора для треугольника \( COK \):
\( CO^2 = CK^2 + OK^2 \),
где \( CO = R \), \( CK = 12 \), \( OK = x \). Подставим:
\( R^2 = 12^2 + x^2 \),
\( R^2 = 144 + x^2 \).

3. Приравняем два выражения для \( R^2 \):
\( 576 + (12 + x)^2 = 144 + x^2 \).

4. Раскроем скобки:
\( 576 + 144 + 24x + x^2 = 144 + x^2 \).

5. Упростим уравнение:
\( 720 + 24x = 144 \).

6. Выразим \( x \):
\( 24x = 432 \),
\( x = \frac{432}{24} = 18 \).

7. Подставим значение \( x = 18 \) в одно из выражений для \( R^2 \):
\( R^2 = 144 + x^2 \),
\( R^2 = 144 + 18^2 \),
\( R^2 = 144 + 324 = 720 \).

8. Найдем \( R \):
\( R = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \).