ГДЗ по Геометрии 8 Класс Вопросы. Параграф 10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1. Какой четырёхугольник называют вписанным?
2. В каком случае говорят, что окружность описана около четырёх- угольника?
3. Каким свойством обладают углы вписанного четырёхугольника?
4. При каком условии четырёхугольник является вписанным?
5. Какую прямую называют прямой Симсона?
6. Какие точки называют коллинеарными?

1. Вписанным четырёхугольником называется четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности.

2. Окружность называется описанной около четырёхугольника, если она проходит через все его вершины.

3. Углы вписанного четырёхугольника обладают свойством: сумма противоположных углов равна 180 градусов.

4. Четырёхугольник является вписанным, если его вершины лежат на одной окружности.

5. Прямой Симсона называется прямая, проходящая через ортоцентр треугольника и середины его сторон.

6. Коллинеарными называются точки, лежащие на одной прямой.

1. Вписанным четырёхугольником называется четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Это означает, что существует такая окружность, которая проходит через все четыре вершины этого четырёхугольника. Вписанный четырёхугольник обладает уникальными свойствами, например, сумма его противоположных углов всегда равна \(180^\circ\). Это свойство связано с тем, что углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, являются накрест лежащими. Если обозначить вершины четырёхугольника как \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\), то можно записать, что \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) и \(\angle B + \angle D = 180^\circ\). Это свойство делает вписанные четырёхугольники важными в геометрии.
2. Окружность называется описанной около четырёхугольника, если она проходит через все его вершины. Это означает, что все четыре точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) (вершины четырёхугольника) лежат на одной окружности. В этом случае сам четырёхугольник называется вписанным в эту окружность. Описанная окружность имеет ключевое значение в геометрии, так как позволяет изучать свойства четырёхугольников и их углы. Например, в описанном четырёхугольнике можно использовать радиус окружности для вычисления различных характеристик, таких как площади и углы.
3. Углы вписанного четырёхугольника обладают свойством, что сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Это свойство можно объяснить с помощью теоремы о накрест лежащих углах. Если провести хорд, соединяющую две противоположные вершины, например, \(A\) и \(C\), то углы \(\angle A\) и \(\angle C\) будут накрест лежащими относительно этой хорды. Аналогично, углы \(\angle B\) и \(\angle D\) также будут накрест лежащими. Таким образом, можно записать, что \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) и \(\angle B + \angle D = 180^\circ\). Это свойство является основой для многих доказательств и задач в геометрии, связанных с вписанными углами и четырёхугольниками.
4. Четырёхугольник является вписанным, если его вершины лежат на одной окружности. Это условие можно проверить, если известно, что сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Если мы имеем четырёхугольник \(ABCD\), и если мы можем провести окружность, так что все его вершины \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежат на этой окружности, то этот четырёхугольник будет вписанным. Важно отметить, что не каждый четырёхугольник может быть вписанным; для этого необходимо, чтобы его углы удовлетворяли указанному свойству.
5. Прямой Симсона называют прямую, проходящую через ортоцентр треугольника и середины его сторон. Ортоцентр — это точка пересечения высот треугольника, которые являются перпендикулярами, проведенными из вершин треугольника к противоположным сторонам. Если обозначить треугольник как \(ABC\), то высоты, проведенные из вершин \(A\), \(B\) и \(C\) к сторонам \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно, пересекутся в точке \(H\) — ортоцентре. Прямая Симсона будет проходить через \(H\) и будет пересекать стороны треугольника в точках, которые будут делить каждую сторону на два отрезка. Это свойство прямой Симсона делает ее важной в задачах на построение и доказательствах в геометрии.
6. Коллинеарными называются точки, лежащие на одной прямой. Это означает, что если взять любые три точки \(A\), \(B\) и \(C\), и если они лежат на одной линии, то они будут коллинеарными. В геометрии это свойство часто используется для доказательства различных теорем и свойств фигур. Например, если три точки коллинеарны, то они могут быть использованы для определения уравнения прямой, проходящей через них. Коллинеарность также может быть проверена с помощью векторов: если векторы, соединяющие эти точки, пропорциональны, то точки коллинеарны.