ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 100 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Биссектриса угла \(A\) параллелограмма \(ABCD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\), а биссектриса угла \(C\) — сторону \(AD\) в точке \(K\). Докажите, что четырехугольник \(AMCK\) — параллелограмм
1) В параллелограмме ABCD: AD || BC, \(\angle{LA} = \angle{C}\);
2) Для прямых AD и BC и секущей CK: \(\angle{CKD} = \angle{BCK}\);
3) Для прямых AM и CK и секущей AD: \(\angle{MAD} = \frac{1}{2}\angle{LA} = \frac{1}{2}\angle{C} = \angle{BCK}\), \(\angle{MAD} = \angle{CKD}\), AM || CK;
4) В четырехугольнике AMCK: AK || MC, AM || CK; AMCK — параллелограмм.
Дано: четырехугольник ABCD является параллелограммом, AM — биссектриса угла \(\angle{A}\), CK — биссектриса угла \(\angle{C}\).
Доказать: четырехугольник AMCK также является параллелограммом.
Решение:
1) Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны AB и DC параллельны, а также равны по длине: \(AB || DC\) и \(AB = DC\).
2) Так как AM — биссектриса угла \(\angle{A}\), то \(\angle{LAM} = \frac{1}{2}\angle{A}\). Аналогично, так как CK — биссектриса угла \(\angle{C}\), то \(\angle{LCK} = \frac{1}{2}\angle{C}\).
3) Поскольку в параллелограмме ABCD противоположные углы равны, то \(\angle{A} = \angle{C}\). Следовательно, \(\angle{LAM} = \angle{LCK} = \frac{1}{2}\angle{A} = \frac{1}{2}\angle{C}\).
4) Рассмотрим треугольники ADC и AMC. Так как \(AD || BC\) и \(\angle{LAM} = \angle{LCK}\), то треугольники ADC и AMC подобны.
5) Из подобия треугольников ADC и AMC следует, что \(AC = AM\) и \(AD = MC\). Таким образом, диагонали AC и MD четырехугольника AMCK равны, а значит, AMCK — параллелограмм.
Вывод: четырехугольник AMCK является параллелограммом.
